Covergence simple et uniforme d'une suite de fonctions

par **Moutth** » 15 Avr 2008, 13:50

bonjour tout le monde

alors voilà la fonction:
fn: R ---> R , x---> cos (nx/(n+1))

pour la convergence simple je dois fixé x dans R et trouver la limite mais là, je suis bien embeté, c'est un cos.
comment faire? un DL?

par **Joker62** » 15 Avr 2008, 13:54

Bé on fixe x, et on fait tendre n vers +oo
n/(n+1) tend vers 1 en +oo

par **nonam** » 15 Avr 2008, 13:55

oui mais cos est continue, et la limite de nx/(n+1) (pour x fixé) est quand meme pas trop compliquée à trouver, si?
edit : j'ai été doublée...

par **Moutth** » 15 Avr 2008, 14:10

ou c'est vrai j'avoue :euh:

donc pour x different de 0 ca tend vers cos(1)
pour x=0 ca tend vers cos(0)

donc pas de convergence simple sur R

par **Clembou** » 15 Avr 2008, 14:10

nonam a écrit:oui mais cos est continue, et la limite de nx/(n+1) (pour x fixé) est quand meme pas trop compliquée à trouver, si?
edit : j'ai été doublée...

Comme indiqué plus haut, si

et x fixé alors

et

. Maintenant tu peux en déduire la convergence simple de ta suite de fonctions.

par **Clembou** » 15 Avr 2008, 14:12

Moutth a écrit:ou c'est vrai j'avoue :euh:

donc pour x different de 0 ca tend vers cos(1)
pour x=0 ca tend vers cos(0)

donc pas de convergence simple sur R

Non, c'est pas le bon raisonnement !

par **Moutth** » 15 Avr 2008, 14:16

Clembou a écrit:Comme indiqué plus haut, si et x fixé alors et . Maintenant tu peux en déduire la convergence simple de ta suite de fonctions.

d'accord je vois
merci beaucoup

par **Joker62** » 15 Avr 2008, 14:22

Et juste comme ça : même si tu trouves une limite qui n'est pas continue, ça veut pas forcément dire qu'il n'y a pas de convergence simple

Prendre l'exemple de x^n sur [0;1]
Qui converge simplement vers la fonction nulle sur [0;1[ et vers 1 en x=1

par **Moutth** » 15 Avr 2008, 14:52

d'accord c'est un question d'intervalle en fait?

pour la convergence uniforme j'utiliserai bien l'inégalité des accroissements finis
qu'en pensez vous?

par **SimonB** » 15 Avr 2008, 14:57

Toujours pareil : ça dépend fortement de l'intervalle sur lequel tu étudies ladite convergence uniforme.
Si tu connais ton cours, par exemple, tu sais qu'une limite uniforme de fonctions continues est continue. Ici, toutes tes fonctions sont continues sur

et la limite n'est pas continue en 0. Tu en déduis donc qu'il est impossible qu'il y ait convergence uniforme sur un intervalle qui contient 0... Et ensuite, tu peux regarder où ça va CVU.

par **Joker62** » 15 Avr 2008, 15:03

la limite simple c'est x -> Cos(x) qui est continue, donc marche pas...

Moi je regarderais le sup sur R de |f_n(x) - f(x)| et je montrerais qu'il ne tend pas vers 0

par **SergeM** » 15 Avr 2008, 15:37

En l'occurence pour tout n appartenant à N
fn((n+1).Pi)=cos(n.Pi)=(-1)^n
Or f((n+1).Pi)=cos((n+1).Pi)=(-1)^(n+1)

Donc pour tout n appartenant à N
|fn((n+1).Pi-f((n+1).Pi)|=2

Donc pour tout n appartenant à N
sup |fn(x)-f(x)| > ou = 2

Donc la limite quand n tend vers l'infinie du sup pour tout x appartenant à R de
|fn(x)-f(x)| est > ou = à 2 (donc pas 0)

Donc fn ne converge pas uniformement

par **J@mes** » 15 Avr 2008, 18:24

La convergence simple est la convergence par point et la convergence uniforme est la convergence par intervalle. Si t'as 2 limites pour la convergence simple, c'est sûr qu'on n'a pas la convergence uniforme.

par **ThSQ** » 15 Avr 2008, 18:33

Ca converge simplement vers cos(x) sur IR, uniformément sur tout compact (un coup de TAF) et pas uniformément sur IR (

est minoré).

Covergence simple et uniforme d'une suite de fonctions

covergence simple et uniforme d'une suite de fonctions

Qui est en ligne