Covariance : calcul et propriété

[Dante0]

Bonsoir,

Je n'arrive pas à calculer :


Le résultat est mais je ne comprends pas comment on y arrive ?

Autre question :

Soit
on a :





si


Je ne comprends pas comment on a développer ces covariances..Quelles propriétés de la covariance a-t-on utilisé ici ?
Pourquoi la covariance devient-elle nulle pour h plus grand que 2 ?

Merci bien !

[Dante0]

Up :help::help::help:

[Dante0]

Personne ? :triste:
Comprendre ca va me permettre de comprendre d'autres choses nécessaires, je suis vraiment bloqué la.. :/

[DamX]

Bonjour,

la première expression n'a pas de sens, une covariance est entre deux termes, et il n'y en a qu'un dans cette expression. Par ailleurs, il n'y a aucune définition des variables utilisées (je suppose que le processus espilon est un bruit blanc ?)

Pour l'autre question,
les deux premières covariances ne sont que la recopie de Xt, Xt+1, Xt+2 donc il n'y a rien à expliquer. Le problème vient-il du développement de l'expression ensuite ? Pour cela se rappeler que la covariance est bilinéaire.
Pour la troisième (covariance nulle à partir de h>2) c'est parce que les e_i sont indépendants, donc Cov(e_i,e_j) = 0 dès que i est différent de j, et en développant tous les termes sont nulles ( car il n'y a "aucun indice d'epsilon en commun" dans les deux termes de la covariance).

Damien

[Sylviel]

Tu donnes un calcul sans les hypothèses qui vont avec...Déjà covariance n'a de sens que pour deux éléments ou pour un vecteur et dans ce cas il s'agit d'une matrice de variance-covariance. De quoi s'agit-il ici ?

[Dante0]

Milles excuses je n'avais pas remarqué !

L'expression est :

Et oui epsilon est bien un bruit blanc !
Ah zut je viens de me rendre compte que je n'ai pas fini les calculs, je ne sais pas ce qui m'arrive... :mur:

Voici les expressions complètes :











L'énoncé est :

Soit le processus

1) est-il stationnaire ?
Réponse : oui car tout processus MA(q) est stationnaire.

2) Caractériser son auto corrélogramme
Et la c'est les développement au dessus, pour etre franc je ne comprends pas trop ce qu'on nous demande, mais comprendre les calculs pourrait m'être d'une grande aide !

Voila merci et encore désolé pour la faute !

PS : je précise que l'expression en haut et ce qui suit n'est pas lié !

[DamX]

Pour l'ensemble des développements, il faut juste se rappeler de deux chose :
1) La covariance est bilinéaire, ce qui implique :
Cov(a+b,c+d) = cov(a,c)+cov(a,d)+cov(b,c)+cov(a,d)
ou encore que
cov (a1+a2+a3+...+an,b) = cov(a1,b)+cov(a2,b)+...+cov(an,b)

2) Les espilon formant un bruit blanc, on a donc : Cov(eps_i, eps_j) = 0 si i différent de j

en utilisant ces deux propriétés, ça permet de répondre à toutes tes questions.

Damien

[Dante0]

Pour l'ensemble des développements, il faut juste se rappeler de deux chose :
1) La covariance est bilinéaire, ce qui implique :
Cov(a+b,c+d) = cov(a,c)+cov(a,d)+cov(b,c)+cov(a,d)
ou encore que
cov (a1+a2+a3+...+an,b) = cov(a1,b)+cov(a2,b)+...+cov(an,b)

2) Les espilon formant un bruit blanc, on a donc : Cov(eps_i, eps_j) = 0 si i différent de j

en utilisant ces deux propriétés, ça permet de répondre à toutes tes questions.

Damien

Mais dans ce cas ca devrait pas être : ?

[Dante0]

De plus comment calculer la covariance au dessus ?
celle ci : ?

[DamX]

Mais dans ce cas ca devrait pas être : ?

En effet tu as raison, il y a bien \theta_1\theta_2 qui apparaît. Il y a une erreur dans ta solution initiale.

[DamX]

De plus comment calculer la covariance au dessus ?
celle ci : ?

En supposant que le - est dans la somme, parce que là encore ça n'a pas grand sens ce crochet avec le - devant, et bien il y a pas grand chose a faire : la covariance est non nulle seulement entre Eps(t+1) et lui même, donc il n'y a qu'un seul terme en fait, celui pour j=0 qui te donne le résultat -1/phi (si Var(eps)=1)

[Dante0]

Parfait j ai compris ! Merci !