Courbes paramétrées

[eratos]

Salouté.
C'est LE truc qui casse les burnes: les courbes paramétrées.
J'y arrive jamais, ça fait la n-ème fois que je reviens dessus, j'arrive toujours pas à tracer mes courbes.

Ex: l'astroide
f(t)=(cos^3(t),sin^3(t))

cos et sin sont C infini (impecc pour les formules de taylor et autres dl), 2pi-periodik (on réduit à un intervalle de longueur 2pi, [-pi pi]), cos est pair sin impair donc on s'occupe d'un seul coté de l'axe des abscisses et on fera une symétrie, on restreint donc encore l'intervalle à (0,pi).
f(pi+t)=(-cos^3(t), -sin^3(t)) donc il yaurait une symétrie d'axe la seconde bissectrice. on est à (0, pi/2)
on peut faire mieux?

ensuite tableau de variations:
x'(t)=-3sin(t)cos²(t)
y'(t)=3cos(t)sin²(t)
x décroit et y croit de 0 à pi/2
On a deux point singulier en 0 et pi/2

L'angoisse c'est maintenant, je fais comment pour connaitre l'allure de la courbe en (1,0)? Un dl de cos et sin élevé au cube, ce qui ferait trop de calcul?

Remq: f(0)=(1,0) et f'(0)=(0,0), la dérivée zéro-ième et premiere ferait qu'on est face à un point de rebroussement!
pareil pour le point t=pi/2

Je suis bon pour l'instant?

[Doraki]

Salouté.
C'est LE truc qui casse les burnes: les courbes paramétrées.
J'y arrive jamais, ça fait la n-ème fois que je reviens dessus, j'arrive toujours pas à tracer mes courbes.

Ex: l'astroide
f(t)=(cos^3(t),sin^3(t))

cos et sin sont C infini (impecc pour les formules de taylor et autres dl), 2pi-periodik (on réduit à un intervalle de longueur 2pi, [-pi pi]), cos est pair sin impair donc on s'occupe d'un seul coté de l'axe des abscisses et on fera une symétrie, on restreint donc encore l'intervalle à (0,pi).

f(-t) = (cos^3(t),-sin^3(t)), ce qui veut dire que le graphe est symétrique par rapport à l'axe des abscisses.

f(pi+t)=(-cos^3(t), -sin^3(t)) donc il yaurait une symétrie d'axe la seconde bissectrice. on est à (0, pi/2)

Non, ça ça veut dire que le graphe est symétrique par rapport à l'origine.
Avec la première remarque on peut en conclure que le graphe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (f(pi-t) = ...)

on peut faire mieux?

Oui, f(pi/2-t) = (sin^3(t),cos^3(t)), donc le graphe est symétrique par rapport à une (donc les deux) bissectrice. Et il suffit de dessiner le graphe pour t entre 0 et pi/4.

L'angoisse c'est maintenant, je fais comment pour connaitre l'allure de la courbe en (1,0)? Un dl de cos et sin élevé au cube, ce qui ferait trop de calcul?

faire un DL n'est pas bien méchant :
sin^3(t) = t^3 + O(t^5)
cos^3(t) = 1 - 3t²/2 + O(t^4)

Donc c'est cos^3(t) qui bouge bien plus que sin^3(t), et donc il y a un point de rebroussement avec une tangente horizontale en (1,0)

Ca devrait faire une sorte d'étoile à 4 pics.

[eratos]

Merci Doraki =)
le Dl j'ai pas trouvé pareil, j'ai fait dl cos et sin à l'ordre 3 + binome de newton en omettant le o(t^3) que j'ai rajouté à la fin du calcul

un autre: (x(t),y(t))=
(-t/(1+t^4), t^3/(1+t^4))

J'ai une branche infinie, je fais quoi? je vois le rapport y(t)/x(t) ?

[Doraki]

Je vois pas de branche infinie moi : x(t) et y(t) convergent tous les deux vers 0 quand t tend vers l'infini.
Pour avoir les tangentes en (0,0), oui tu regardes ce que fait y(t)/x(t).

Il y a aussi des symétries quand tu compares f(t) avec f(-t) et f(1/t).

[deltab]

Bonjour.

@eratos
Je te conseille de tracer quelques points et leurs tangentes ou demi-tangentes. Fais un test sur l'arc de paraboles en prenant et . Fais la même chose pour l'astroide en prenant 5 points sur l'intervalle d'étude (N'oublies pas qu'une courbe est l'enveloppe de ses tangentes).

[chan79]

Salut

Je vois pas de branche infinie moi : x(t) et y(t) convergent tous les deux vers 0 quand t tend vers l'infini.

???

la courbe se situe visiblement à l'intérieur d'un carré

[eratos]

re.
Chan: j'ai demandé à l'ordi qu'il me dessine le graphe, c'est une sorte de bulle :triste:
d'après mon tableau de variations, x est coincé entre 0 et un truc négatif, y entre 0 et un truc positif.
Doraki:
f(1/t)=(-y(t), -x(t)), c'est quoi comme symétrie ça? une rotation?

x est négligeable devant y en (0,0), on a une tangente verticale, ya bon? suis paumé

[Doraki]

f(1/t)=(-y(t), -x(t)), c'est quoi comme symétrie ça? une rotation?

Donc f(1/t) est l'image de f(t) par l'application (x,y) -> (-y,-x)
Soit tu dessines quelques points et leurs images pour voir,

soit tu vois que c'est une application linéaire orthogonale, de déterminant -1, donc une réflexion orthogonale. L'axe de la réflexion est l'ensemble des points fixes, donc la droite y= -x, donc la 2ème bissectrice.

d'après mon tableau de variations, x est coincé entre 0 et un truc négatif, y entre 0 et un truc positif.

??!!?!?
f(-1) = ?

x est négligeable devant y en (0,0)

ça ne veut rien dire, parcequ'il y a 2 moments où (x(t),y(t)) = (0,0), pour t = 0 et pour t = infini.
y(t)/x(t) = -t², qui tend vers 0 quand t -> 0 (d'où une tangente horizontale en t=0) et vers l'infini quand t -> l'infini (d'où une tangente verticale en t = infini)

Les deux tangentes sont d'ailleurs bien images l'une de l'autre par la réflexion sus-mentionnée.


Normalement ça fait une figure en forme de 8.

[chan79]

salut
j'ai cette courbe

[eratos]

doraki: f(-1)=?? ,je suis encore sur {t>=0}
<>, tu avais bien compris le contexte. =) Mais l'argument c'est ça ou pas?
Après ton histoire de reflexion orthogonale on va éviter, à moins que t'as quelques liens pour remédier à mon ignorance?

chan: avec quoi tu fais tes dessins?

Bon j'ai réussi à faire un petit dessin quant t variait de 0 +oo. On est dans le quart nord ouest du plan: il y a deux tangentes verticales (en (0,0) et en f(4V1/3)) et deux horizontales (en (0,0) et f(4V3))

[Doraki]

doraki: f(-1)=?? ,je suis encore sur {t>=0}

ah ben fallait préciser.

>, tu avais bien compris le contexte.

non j'ai toujours pas compris si tu parles de t=0 ou de t = infini.

Après ton histoire de reflexion orthogonale on va éviter, à moins que t'as quelques liens pour remédier à mon ignorance?

tu n'as jamais fait d'algèbre linéaire ? parceque c'est dans n'importe quel cours d'algèbre linéaire.
aussi en terminale spé maths on faisait un peu de géométrie de ce genre (à mon époque)

Bon j'ai réussi à faire un petit dessin quant t variait de 0 +oo. On est dans le quart nord ouest du plan: il y a deux tangentes verticales (en (0,0) et en f(4V1/3)) et deux horizontales (en (0,0) et f(4V3))

un truc comme ça sauf que y'a l'une des 2 tangentes qu'est pas au bon endroit.
si y'en a une en t=t1, y'en a une autre en 1/t1. Or 1/4sqrt(1/3) ça ne fait pas 4sqrt(3)

[eratos]

t oo
algèbre quoi? Si j'en ai fait un peu en licence, mais j'ai tout oublié et ça ne m'a jamais servi à rien. Ca parlait d'espaces vectoriels, de matrices et de déterminants, et d'applications linéaires, mais jamais on à relier ça à une quelconque géométrie.

(faut dire que j'ai jamais fait de géométrie non plus, à part dans les petites classes :id: )

ps: ouais la bêtise c'est 1/4sqrt3 et pas 4sqrt1/3

[eratos]

Salut.
Je passe un peu en polaire, j'ai trouvé un petit pdf pour m'aider: http://www.math.univ-toulouse.fr/~fournie/WEB-IUT/tm411.pdf

Malheureusement je peine encore un peu à comprendre les symétries notamment celle là:
r(a+t)= -r(t) rotation de centre 0 et d'angle a+pi
pas évident même avec dessins et consorts :help: