Courbes de bézier

[JL_flash_france]

Bonjour à tous, je suis nouveau ici et merci de me reprendre si je commets des impairs. :hum:
D'abord je me présente, je suis un des animateurs d'une communauté qui se consacre au logiciel flash depuis 2001 : http://www.flash-france.com

Voici un problème qui nous a été soumis récemment et sur lequel je (comme d'autres) séchons...
Dans flash on utilise souvent les courbes de Bézier dites quadratiques.
Elle comprennent
- un point de départ A
- un point d'arrivée B
- un point "d'orientation" M
La courbe commence en A, fini en B, est tangente à AM en A et tangente à MB en B

Voici maintenant le problème
Soit un point P quelconque du plan, on recherche le point N tel que N soit à la distance la plus faible de la courbe de bézier
"Apparemment" (je veux dire à vu d'oeil de néophyte) ce point semble unique
(et si ça peut aider il semble se trouver sur cercle de centre P tangent à la courbe de bézier en N)

Ma question toute bête (Non je rigole...)
Peut-on exprimer les coodonnées x et y de N comme étant une combinaison linéaire des points A B M et P ?

voilà .... à vous de jouer ... si ça vous tente :id:

Si ça peut vous aider voici quelques liens sur les courbes de bézier
http://pilat.free.fr/learnsvg/html/chapitre04/page04-1.htm
http://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_de_B%C3%A9zier

[JL_flash_france]

Ben ça n'a pas l'air de passionner les foules mon histoire :happy2:

[yos]

Soit un point P quelconque du plan, on recherche le point N tel que N soit à la distance la plus faible de la courbe de bézier

C'est pas plutôt : "on cherche le point N de la courbe de Bézier qui est à la distance la plus faible de P" ?

ce point semble unique
(et si ça peut aider il semble se trouver sur cercle de centre P tangent à la courbe de bézier en N)

Si ta courbe est sans point d'inflexion (ce que je crois bien que je ne connaisse rien aux courbes de Bézier), et si le point P est situé "du bon côté" de la courbe, alors ce point N est bien unique (et on l'obtient comme tu dis). Mais dans le cas général, je ne vois pas pourquoi il y aurait unicité". Tu peux très bien avoir ce minimum réalisé en A et en B par exemple.

Pour le reste, il faudrait que je vois si la courbe de Bézier de 3 points a une équation ou une représentation paramétrique. Je ne promets rien car je manque de temps pour explorer en détail les liens que tu fournis.

[cesar]

Voici maintenant le problème
Soit un point P quelconque du plan, on recherche le point N tel que N soit à la distance la plus faible de la courbe de bézier
"Apparemment" (je veux dire à vu d'oeil de néophyte) ce point semble unique
(et si ça peut aider il semble se trouver sur cercle de centre P tangent à la courbe de bézier en N)

Ma question toute bête (Non je rigole...)
Peut-on exprimer les coodonnées x et y de N comme étant une combinaison linéaire des points A B M et P ?

la phrase n'est pas claire du tout :
"Soit un point P quelconque du plan, on recherche le point N tel que N soit à la distance la plus faible de la courbe de bézier"
si vous voulez qu'on vous reponde, il faut exprimer l'enoncé du probleme sans ambiguité sur le sens des phrases et des mots... sinon, c'est foiré d'avance...

[yos]

La courbe de Bézier quadratique (A,M,B) est décrite par le point K(t) tel que
K(t)=t²(A-2M+B)+2t(M-A)+A (d'après wikipédia).
D'où PK(t)²=|t²(A-2M+B)+2t(M-A)+A-P|² (module de complexe).
On est donc amené à chercher le minimum d'une fonction ce qui est une fonction polynôme de degré 4 en t.
En résumé : pas de solution simple et lisse. Méthodes numériques obligatoires.

[panoramix]

Salut,

fig 4-14 du premier lien

Les coordonnées de B (donc N) sont quadratiques en t dans [0;1]

Le produit scalaire A1A2 avec PN est une équation cubique en t. Si le point P se trouve dans une zone de l'espace où il existe un point de tangente, on trouvera une solution réelle t dans [0;1].

Il n'y a pas de moyen pour trouver une relation linéaire. Après réflexion, je crois que le simple fait qu'il y ait une condition sur la position de P rend impossible la relation linéaire pas assez riche pour exprimer une condition.

Merci de me dire vos réactions. Je me demande si je ne suis pas complètement hors sujet.

[JL_flash_france]

Oh merci merci ... je vois que ça intéresse des gens ce problème

Excusez moi de ne pas avoir été suffisamment rigoureux dans l'énoncé
Je vais essayer de l'illustrer par une image
Imaginez que Le point P c'est un bonhomme qui se trouve à quelques mètres du bord d'une rivière.
---> Le point P c'est le bonhomme
---> La courbe de bézier c'est ala rivière

La question devient donc alors comment peut-il rejoindre la berge en faisant le minimum de pas... (et donc le point N est le point ou il touche la berge)

N est bien sur la courbe de Bézier.

Un bon lien avec plein de formule sur les courbes de Bézier
http://www4.ac-lille.fr/~math/classes/analyse/bezierspline/bezier-spline.htm
..

[cesar]

Oh merci merci ... je vois que ça intéresse des gens ce problème

Excusez moi de ne pas avoir été suffisamment rigoureux dans l'énoncé
Je vais essayer de l'illustrer par une image
Imaginez que Le point P c'est un bonhomme qui se trouve à quelques mètres du bord d'une rivière.
---> Le point P c'est le bonhomme
---> La courbe de bézier c'est ala rivière

La question devient donc alors comment peut-il rejoindre la berge en faisant le minimum de pas... (et donc le point N est le point ou il touche la berge)

N est bien sur la courbe de Bézier.

Un bon lien avec plein de formule sur les courbes de Bézier
http://www4.ac-lille.fr/~math/classes/analyse/bezierspline/bezier-spline.htm
..

là, c'est clair. on va essayer de te repondre...

[cesar]

voila ce que j'ai trouvé, si vous avez mieux, cela m'interesse :




cette methode donne les extremum, donc aussi bien les minimum que les maximum, mais le tri est facile à faire.... :stupid_in

[JL_flash_france]

MAGNIFIQUE... MERVEILLEUX ... EXTRA .... FORMIDABLE...
Ah que j'aimerais moi aussi toucher ma bille en maths ...

un GROS MERCI MERCI MERCI
On va essayer de mettre ça en application et dès que c'est fait on vous envoie le lien

C'est beau comme du Léonard de Vinci .... Ah merci encore

[Geyser]

Bonjour à tous,

Je fais partie de la même communoté Flash que JL_flash_france. A vrai dire, c'est moi qui ait eu ce problème.

Merci beaucoup César pour cette réponse, je vais essayer de l'utiliser pour faire ce dont j'ai besoin. J'aurais surement encore quelques petites questions à ce sujet.