Courbe paramétré et symetrie

[lilredhood]

Bonjour je suis entrain de faire un DM et je bloque sur une question :
Soit p une courbe paramétré allant de I a R^2 Soit D la droite x=0 Pour t appartenant a I on note C le symétrique du projeté de p(t) par rapport a la tangente a p au point p(t)
Il faut montrer que C(t) est égale a
C1(t) = p1(t) -(2p2(t)*p1'(t)*p2'(t))/(p1'(t)^2+p2'(t)^2)
C2(t)=(2p2(t)p1'(t)^2)/(p1'(t)^2+p2'(t)^2)
C1 et C2 etant les composantes de C
Et p1 et p2 les composantes de p
Merci d'avance

[Ben314]

Salut,
A mon avis, le premier truc à faire, c'est de regarder comment calculer les coordonnées du symétrique d'un point quelconque par rapport à une droite donnée .
Est ce que tu sait comment procéder "graphiquement parlant" (i.e. sur un dessin) ?
Et calculatoirement parlant, ça donne quoi la construction ?

[lilredhood]

J'ai déjà essayé en utilisant la droite de la tangente
x=p1(t)+lambda*p1'(t)
y=p2(t)+Lambda*p2'(t)
Et de mettre sous forme y=ax+b mais je reussis pas a trouver le résultat cherché

[chan79]

Pour t appartenant a I on note C le symétrique du projeté orthogonal de p(t) sur D par rapport a la tangente a p au point p(t)

salut
c'est ça ?

[Ben314]

Comment calculer les coordonnées du symétrique d'un point quelconque par rapport à une droite donnée .
- Graphiquement parlant, on trace la perpendiculaire à passant par , on regarde son intersection avec (qui est le projeté de sur ) puis on prend le point situé 2 fois plus loin (par rapport à ) sur : c'est lui le symétrique de M.
- Calculatoirement parlant, un vecteur normal à la droite est donc une équation paramétrique de est et un tel point est sur ssi c'est à dire ssi avec .
Et le point situé 2 fois plus loin (par rapport à ) sur est celui correspondant à c'est à dire .

Après, je peut pas en faire plus vu que ça :
Pour t appartenant a I on note C le symétrique du projeté de p(t) par rapport a la tangente a p au point p(t)
Je comprend pas ce que ça veut dire : tu projette p(t) sur quoi ?

[lilredhood]

On projete sur la droite x=0

[Ben314]

Dans ce cas, tu applique bêtement la formule du post précédent :
Si ta paramétrisation est alors un point est sur la tangente en ssi les vecteurs et sont colinéaires et en prenant le déterminant, ça te donne l'équation . Et d'un autre coté, le projeté orthogonal de sur l'axe c'est .
Donc et ton symétrique est .

[chan79]

salut
Pour ceux que ça intéresse:
Si on prend pour p un cercle (bleu) de centre (0,0), on obtient la courbe (rouge) qui est une néphroïde.
La courbe rouge correspond à la courbe symétrique du diamètre vertical (vert) du cercle par rapport à ce cercle.



On pourra consulterà ce sujet l'excellent site http://www.mathcurve.com