Courbe (gauche?) tracée sur sphère

[Cryptocatron-11]

BJ,

Soit dl la longueur infinitésimale d'un élément de courbe tracée sur une sphère :


Comment je fais pour intégrer ça afin de trouver ma longueur l (longueur d'arc partant du point a au point b avec a et b appartenant à la surface de la sphère) ?

R : rayon de la sphère
u : plus communément appelé angle thêta
v : plus communément appelé angle phi

[Doraki]

c'est quoi u et v ?

en supposant que tu aies deux fonctions u(t) et v(t),
ben tu fais l'intégrale sur t de sqrt((du/dt)² + cos²(u)(dv/dt)²) dt

[Cryptocatron-11]

Et si u et v ne dépendent pas de t c'est pas possible donc ?

[Doraki]

si tu n'as pas de fonctions u et v dépendant de quelquechose, je vois pas comment tu peux possiblement parler d'un chemin de a à b.

[Cryptocatron-11]

Ah je crois comprendre ce que tu veux dire... c'est parce qu'il faut que ça dépende que d'UN seul paramètre pour un chemin, non ?

[Dlzlogic]

Et si u et v ne dépendent pas de t c'est pas possible donc ?

Bonjour,
Je ne sais pas si c'est une bonne idée d'utiliser Pythagore pour calculer une distance sur une sphère. Il me parait plus intéressant d'utiliser l'angle au centre du grand cercle.

[Doraki]

ben un chemin dans la sphère c'est par définition une fonction continue de [0;1] (ou n'importe quel autre segment) dans la sphère.
Il vaut mieux avoir une fonction dérivable d'ailleurs (ou reparamétrer [0;1] pour avoir un truc dérivable), sinon t'auras du mal à parler de longueur du chemin.

[Cryptocatron-11]

Bonjour,
Je ne sais pas si c'est une bonne idée d'utiliser Pythagore pour calculer une distance sur une sphère. Il me parait plus intéressant d'utiliser l'angle au centre du grand cercle.

Ben j'ai pris ça de ce lien http://serge.mehl.free.fr/anx/long_arc.html

Tu descends tout en bas dans " Cas d'une courbe tracée sur une surface " . Et aussi j'ai pas trop compris ta méthode

[Dlzlogic]

Ben j'ai pris ça de ce lien http://serge.mehl.free.fr/anx/long_arc.html

Tu descends tout en bas dans " Cas d'une courbe tracée sur une surface " . Et aussi j'ai pas trop compris ta méthode

D'abord, un point important, la question se rapport à une sphère, et on peut faire de la trigonométrie sphérique de la même façon qu'on fait de la trigonométrie plane.
Pythagore n'est applicable que dans un plan, ou dans un espace cartésien en général.
Ce lien expose des cas théoriques, ma réponse ne convient naturellement pas à la démonstration d'une formule donnée.

Cependant, connaissant les coordonnées sphériques de points, il est assez facile de faire tous les calculs voulus avec la trigonométrie sphérique. On parvient à calculer "l'angle d'un arcs de courbe", c'est à dire l'angle sous lequel est vu cet arc, à partir du centre de la sphère. Si cet angle est en radians, il suffit de le multiplier par le rayon pour obtenir la longueur de l'arc.

Attention, ces méthodes ne s'appliquent à la terre que si l'on prend quelques précaution, et que l'on effectue certaines corrections.

[Cryptocatron-11]

Ce lien expose des cas théoriques, ma réponse ne convient naturellement pas à la démonstration d'une formule donnée.

Comme j'ai compris : Cette formule se retrouve facilement en remarquant que z=z(x,y) , x=x(x,y) y=y(x,y) , après on peut donc paramétrer puis le tour est joué. Puis en plus x et y sont des fonctions de t .

Au passage , on utilise les coordonnées curvilignes dont il était un peu question sur ton post " question de sémantique " et ça rejoint un peu l'idée.

Pour ta méthode, ben je vois pas comment calculer l'angle entre deux points quelconques avec des coordonnées sphériques.

[Skullkid]

Bonjour, si tu donnais un exemple de courbe dont tu veux calculer la longueur, ce serait peut-être plus clair. L'idée est comme tu l'as compris de paramétrer, comme toujours quand tu veux calculer une mesure (longueur, surface, volume).

PS : La méthode de Dlzlogic s'applique uniquement pour des courbes qui suivent à peu près les grands cercles, ce qui n'a aucune raison d'être le cas si la courbe est longue. Et si on coupe la "grande courbe" en une infinité de petits morceaux infinitésimaux (qui du coup vont forcément suivre des grands cercles), en appliquant la méthode de Dlzlogic on devrait retomber exactement sur l'élément de longueur que tu as donné au début.

[Cryptocatron-11]

Bonjour, si tu donnais un exemple de courbe dont tu veux calculer la longueur, ce serait peut-être plus clair.

Je n'ai pas d'exemple sous la main , je partais juste d'un cas général.

PS : La méthode de Dlzlogic s'applique uniquement pour des courbes qui suivent à peu près les grands cercles, ce qui n'a aucune raison d'être le cas si la courbe est longue.

OK donc si ma courbe " part en zigzag " tout en restant sur la surface de la sphère, on doit utiliser la paramétrisation ?

Et si on coupe la "grande courbe" en une infinité de petits morceaux infinitésimaux (qui du coup vont forcément suivre des grands cercles), en appliquant la méthode de Dlzlogic on devrait retomber exactement sur l'élément de longueur que tu as donné au début.

C'est un peu comme dire qu'un élément de longueur infinitésimal d'une courbe est égal à celui d'une droite?

[Dlzlogic]

"C'est un peu comme dire qu'un élément de longueur infinitésimal d'une courbe est égal à celui d'une droite? "
Pour moi, c'est vrai et même toujours vrai, c'est le principe de l'intégration. C'est pas pour rien que ça se lit :"somme de ...".

[Skullkid]

Oui, tous les éléments infinitésimaux de courbes sont des petits segments, tous les éléments infinitésimaux de surfaces sont des petits carrés, tous les éléments infinitésimaux de volumes sont des petits cubes. C'est parce que tout est C°° (par morceaux) en physique.

[Dlzlogic]

Oui, tous les éléments infinitésimaux de courbes sont des petits segments, tous les éléments infinitésimaux de surfaces sont des petits carrés, tous les éléments infinitésimaux de volumes sont des petits cubes. C'est parce que tout est C°° (par morceaux) en physique.

Merci de le confirmer, mais je crois que c'est d'abord des maths avant d'être de la physique. La physique ne fait qu'utiliser les maths.
Bonne nuit. :dodo:

[Skullkid]

Justement, en maths on ne peut pas toujours parler de la longueur d'un arc (ce que Doraki a déjà dit). Il faut avoir des hypothèses qui sont toujours présentes en physique. Je serais également surpris que tu sois capable de me fournir une définition mathématique rigoureuse de "élément infinitésimal" en analyse standard...

[Dlzlogic]

Justement, en maths on ne peut pas toujours parler de la longueur d'un arc (ce que Doraki a déjà dit). Il faut avoir des hypothèses qui sont toujours présentes en physique. Je serais également surpris que tu sois capable de me fournir une définition mathématique rigoureuse de "élément infinitésimal" en analyse standard...

Bonjour,
Là, je vois pas trop où tu veux en venir.
Il est vrai que la construction de modèles mathématiques n'ayant strictement aucun rapport avec ne serait-ce qu'une vague notion du réel ne m'intéresse pas, et en tout cas ne ne concerne pas.
Pour étudier ce genre de mathématique, il faut tout redéfinir, depuis les bases élémentaires.
Décidément, on a bien du souci avec la sémantique. Ca me rappelle une vieille histoire qui s'est passée il y a longtemps à Babel, les gens n'arrivaient pas à se comprendre. Résultat, il ne pouvaient arriver à rien.

[Skullkid]

Sauf qu'ici y a pas de tour de Babel, il y a des termes officiels en maths, des termes officiels en physique, un formalisme propre aux maths et un formalisme propre à la physique. Et normalement les deux arrivent à se comprendre à peu près bien.

Le formalisme mathématique (standard) ne parle jamais rigoureusement d'infinitésimaux puisque ce sont des objets qui ne sont pas définis. Le formalisme utilisé dans ce topic est celui de la physique (ou celui des maths d'il y a quelques siècles), qui n'a pas besoin de s'embarrasser de l'existence de fonctions tordues, et qui se fonde en large partie sur le principe du "si le calcul donne un résultat, pas besoin de chercher à le fonder mathématiquement".