Du cour...

[sue]

bsr,

en révisant mon cour je me pose une question :
on a "si (G,*) un groupe et (a,b) £ G² alors chacune des équations : a*x=b (1) et x*a=b (2) admet une unique solution" .

peut-on avoir une équivalence ici i.e si G est un ensemble non vide muni d'une lci * et (1) et (2) ont une solution unique alors G est un groupe ?

merci

[fahr451]

bonsoir

1 et 2 ne donnent pas l associativité de la loi ni même l 'existence d 'un élément neutre

[sue]

je suppose qu'il faut ajouter la condition pour que ça soit vrai non ?

[sue]

je reviens sur ce vieux post...

si on ajoute l'associativité , ça devrait aller , n'est-ce pas ?

[fahr451]

quid du neutre ?

[sue]

bonsoir ,

si on considère l'application f : G--G , x---a*x
posons : e*x=y donc a*(e*x)=a*y
(a*e)*x=a*y (associativité)
a*x=a*y on a f est injective donc x=y soit e*x=x
donc e est bien le neutre à gauche .
idem on montre que c celui de droite avec l'autre équa .

ça marche pas ?

[fahr451]

heu

où a-t-on a*e = a ?

[sue]

f est bijective , existe donc a unique tq f(e)=a=a*e nan ?

[fahr451]

heu dans f a est fixé

reprends donc du début s'il te plait

[sue]

en effet ! :briques:

je ne vois pas comment sans supposer que : a*e=a , mais il me semble que cette condition est moins forte peut-on pas l'avoir juste avec la bijection ?

sinon tu peux me donner un contre exemple que l'implication réciproque est carrémet fausse même avec l'associativité ?

[serge75]

Z* et la multiplication ?

[fahr451]

dans Z* l'équation 2x = 3 n'a pas de solution

[serge75]

Au temps pour moi... Pourvu que jésus ne lise pas ça ! :mur:

[serge75]

Après réflexion, le résultat me parait vrai si on rajoute une hypothèse de finitude sur ton ensemble G.
Comme fahr a l'air d'en savoir plus et de vouloir faire deviner Sue, je garde pour l'instant ma démarche sous le coude.
Par contre, je n'arrive pour l'instant pas à bâtir de contre-exemple avec un ensemble infini, même si j'ai le pressentiment qu'il doit en exister un.
Fahr, je me trompe ?

[fahr451]

je ne pense pas avoir dit à un moment que la réciproque était fausse...

[fahr451]

puisqu 'elle est vraie

(1) et (2) donne que tout élément est régulier

existence du neutre?

pour x fixé il existe e (qui dépend de x) et e'

ex = x et xe' = x

xx = xe'x = x(e'x) et en simplifiant à gauche par x ,x = e'x = ex en simplifiant à droite par x : e = e'

de plus xee = (xe)e= xe en simplifiant par x on a
ee = e
e ne dépend pas de x?

pour x et y il existe e et e'' avec x = ex = xe; y= e''y = y e"

eee" = ee"= ee"e" en simplifiant à droite par e" on a ee = ee" puis e = e"
il y a donc bien un neutre noté e

puis pour x il existe x' et x" tels que xx' = e = x"x et
x"xx' = ex'=x' = x"e=x" donc x = x" et le symétrique

[serge75]

bravo fahr !

[sue]

rien à dire :scotch: parfait !

mais j'aimerais quand même terminer ce que j'ai commencé ...
alors ..

si on considère l'application fa : G--G , x---a*x
posons : e*x=y donc a*(e*x)=a*y
(a*e)*x=a*y (associativité)
a*x=a*y on a f est injective donc x=y soit e*x=x
donc e est bien le neutre à gauche .
idem on montre que c celui de droite avec l'autre équa .

ce qui manque ici c prouver que a*e=e*a=a
alors..
soient fa : G---G,x--a*x et ga : G---G,x--x*a
fa et ga sont surjectives donc existent e et e' tq a*e=a , e'*a=a
existent aussi y et y' tq : a*y=e et y'*a=e'
on a e'*e=e'*(a*y)=(e'*a)*y=a*y=e
et e'*e=(y'*a)*e=y'*(a*e)=y'*a=e'
d'ou e=e' donc existe bien e de G tq a*e=e*a=a .

c juste ?

[sandrine_guillerme]

bonsoir ,

oui il me semble que c'est juste,

certes mais j'ai une petite remarque au niveau de la rédaction.. essais de dire ce que tu souhaite prouver à chaque ligne, mais sinon ton raisonnement est bien.

[fahr451]

si on considère l'application f : G--G , x---a*x
posons : e*x=y

bonjour
ben non x, y sont deux éléments donnés quelconques

et e est défini par e*x = y , e n'a aucune raison d'être un éventuel neutre sauf si y = x