Couple de variables aléatoires

[MC91]

Bonsoir,

Je bloque sur un exercice de proba. Voici l'énoncé :

X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes. On a P(X=k)=P(Y=k)=p(1-p)^k, ou k est un entier naturel.
On pose U=inf(X,Y), V=X-Y
On me demande la loi de (U,V).

Je n'arrive pas du tout à décoller, merci à tous ceux qui pourront m'aider...

Bonne soirée

[Ben314]

Salut,
Vu que tu es dans un cas "discret", c'est facile.
Clairement, tes deux v.a.r. U et V ne prennent que des valeurs entières (relatives) décrire la loi de (U,V), ça revien trés précisément à déterminer p(U=a et V=b) pour tout les couples d'entiers (a,b)
Donc le seul petit calcul à faire, c'est de regarder, pour a et b entiers fixés, quel sont les couples (k,k') tels que inf(k,k')=a et k-k'=b.
Il suffira ensuite d'ajouter les proba respectives du/des couple(s) solution.

Indication : suivant la façon de s'y prendre, il risque d'y avoir des "cas particuliers" pour (a,b) à traiter à part.

[MC91]

Salut,
Vu que tu es dans un cas "discret", c'est facile.
Clairement, tes deux v.a.r. U et V ne prennent que des valeurs entières (relatives) décrire la loi de (U,V), ça revien trés précisément à déterminer p(U=a et V=b) pour tout les couples d'entiers (a,b)
Donc le seul petit calcul à faire, c'est de regarder, pour a et b entiers fixés, quel sont les couples (k,k') tels que inf(k,k')=a et k-k'=b.
Il suffira ensuite d'ajouter les proba respectives du/des couple(s) solution.

Indication : suivant la façon de s'y prendre, il risque d'y avoir des "cas particuliers" pour (a,b) à traiter à part.

Bonsoir,

Du coup, U prend ses valeurs dans N et V dans Z, il faut que je regarde pour toutes les valeurs?
Si je prend par exemple k=1 et k'=5, On a inf(k,k')=1 et k-k'=-4..... Si je dois faire ça pour toutes les valeurs ça va être long!

Je pense qu'il y a peut être une formule générale mais je ne la vois pas.

[Ben314]

Ca, effectivement, si tu doit faire un par un tous les couples possible (a,b) de NxZ, il me semble que ça va être... un peu long... :zen:
(ça me fait penser à la phrase de... on sait pas bien qui... "L’éternité, c’est long. Surtout vers la fin.")

Commence par quelques exemples (2 ou 3) puis essaye de traiter le cas général (avec des lettre a et b et pas des "vrai nombres" quoi... :ptdr:)

Si tu as des soucis, tu demande (après les exemples qui risquent de t'éclairer)

[MC91]

Ca, effectivement, si tu doit faire un par un tous les couples possible (a,b) de NxZ, il me semble que ça va être... un peu long... :zen:
(ça me fait penser à la phrase de... on sait pas bien qui... "L’éternité, c’est long. Surtout vers la fin.")

Commence par quelques exemples (2 ou 3) puis essaye de traiter le cas général (avec des lettre a et b et pas des "vrai nombres" quoi... :ptdr:)

Si tu as des soucis, tu demande (après les exemples qui risquent de t'éclairer)

Alors, si j'ai inf(k,k')=a et k-k'=b
Je prend un exemple: a=2 et b=5
k-k'=5 donc k=5+k'
D'où inf(k,k')=inf(5+k',k')=k' puisque k'>0

Dans le cas général:
a>0, b prend des valeurs positives ou négatives
k-k'=b donc k=k'+b
D'où inf(k,k')=inf(k'+b,k')=k' si b>0
=k'+b si b<0

Suis je sur la bonne voie?

Merci beaucoup de votre aide!

[Ben314]

Oui, c'est bien ça : les deux seul cas à discerner sont b>=0 et b<=0.