Cos-1(i)

[Matmdr]

Bonjour,

Je dois calculer cela :

Voici ce que j'ai déjà fait :


d'après la définition de Wikipédia






étant donné que :

D'après Google, j'ai le bon résultat cependant j'aimerais savoir s'il n'est pas possible d'aller plus loin en obtenant un résultat un peu plus exploitable que cela.

Merci d'avance

[Lostounet]

Bonjour,

Je dois calculer cela :

Voici ce que j'ai déjà fait :


d'après la définition de Wikipédia






étant donné que :

D'après Google, j'ai le bon résultat cependant j'aimerais savoir s'il n'est pas possible d'aller plus loin en obtenant un résultat un peu plus exploitable que cela.

Merci d'avance

Bonjour,
Il y a pas mal de soucis de rédaction à mon sens...

Certes on peut définir Arccos(z) avez z complexe mais il faut bien définir ce fameux "ln...".

A priori, ln n'est défini que pour des réels positifs. Comment définis-tu ln(z) avec z complexe?

De plus la formule racine(ab)=racine(a)*racine(b) n'est a priori valable que pour des réels positifs a et b... on ne peut pas écrire des racine(-2) ou des choses comme ça... (racine de -2 tu le prends égal à sqrt(2)i ou -sqrt(2)i ??)

Quel est ton bagage en analyse complexe?
Définir arccos(z) nécessite des notions sur le prolongement analytique....

[Ben314]

Salut,

Définir arccos(z) nécessite des notions sur le prolongement analytique....

A mon avis, c'est pas "complètement obligatoire", si on cherche à donner "du sens" à une expression comme (qui, hors contexte, n'a aucun sens), il me semble que le premier truc qui peut venir à l'esprit c'est de considérer que ce qu'on cherche en fait, c'est , c'est à dire l'ensemble des solutions de l'équation où le cosinus d'un complexe est défini par si .
où cette dernière formule à le bon goût d'être compréhensible dés qu'on sait que .
Avec ça comme point de vue, on peut essayer de déterminer en restant niveau Lycée (et on trouve avec ).

Sinon, concernant le reste de ton post, je suis d'accord : le truc proposé par Matmdr, c'est un tissus de connerie du début à la fin...

[Matmdr]

Certes on peut définir Arccos(z) avez z complexe mais il faut bien définir ce fameux "ln...".

En effet, je suis allé un peu vite avec ln mais j'avoue que je n'ai jamais utilisé le log complexe comme ça. D'après Wiki, "On doit être prudent, parce que certaines propriétés familières du logarithme réel ne sont plus vérifiées pour le logarithme complexe. Par exemple, L(ez) n'est pas toujours égal à z, et L(zw) n'est pas toujours égal à L(z) + L(w)." Du coup, est-ce que je peux utiliser L(zw) = L(z) + L(w) ici ?

De plus la formule racine(ab)=racine(a)*racine(b) n'est a priori valable que pour des réels positifs a et b... on ne peut pas écrire des racine(-2) ou des choses comme ça... (racine de -2 tu le prends égal à sqrt(2)i ou -sqrt(2)i ??)

Pour ça, il me semble bien qu'en prépa c'était une astuce que l'on utilisait pour des racines négatives dans l'ensemble des complexes et pour le signe, c'est juste que j'ai pas trouvé le signe +/- sur l'éditeur d'équation du coup j'ai choisi + parce que cela collait avec le résultat de Google mais j'ai oublié de le préciser, il est vrai.

Concernant le prolongement analytique, je n'ai absolument aucune notion (à moins que j'en ai et que l'on ne me l'ai pas enseigné sous ce nom, mais cela m'étonnerait).

Sinon, concernant le reste de ton post, je suis d'accord : le truc proposé par Matmdr, c'est un tissus de connerie du début à la fin...

Je te remercie de ton intervention, mais je doute que ce genre de propos fasse avancer mon problème.

[Lostounet]

En fait, ce qu'il faut comprendre c'est qu'il n'y a pas "une bonne valeur"... mais une infinité !
La difficulté du logarithme complexe n'est pas qu'on a "juste" des formules différentes (Et qu'on peut utiliser une table de formules)... Sinon on te les aurait appris ou montré au lycée ou en prépa.

La difficulté est "conceptuelle"/"abstraite": ce n'est pas une fonction comme celles que tu connais.
Elle n'associe pas à un nombre une seule image, mais plusieurs images...

Le logarithme complexe d'un complexe z = |z|*exp(it) ce n'est pas "le nombre complexe Log(z)", mais "les" nombres complexes: ln(|z|) + it + 2ikpi (avec k décrivant Z).
Si tu prends l'exponentielle de l'un de ces nombres, tu retombes sur "z":

exp(ln(|z| + it + 2ikpi) = |z|*exp(it + 2ikpi) = |z|exp(it) = z et cela pour tout k.

Regarde la réponse de Ben: elle indique une infinité de nombres z tels que cos(z) = i. Il n'y en a pas un qui convienne plus qu'un autre.

Donc à mon avis, il n'y a aucune raison pour laquelle le "bon" résultat serait "juste" une de ces valeurs.
Je pense que tu devrais patienter un peu avant de manipuler ces objets (c'est pas facile vu qu'on y passe quelques mois en troisième année de Licence et là tes calculs n'ont pas de sens vis-à-vis de ces objets).
Ou alors fais comme l'indique Ben, pour qu'au moins le résultat soit rigoureux/correct.

[aviateur]

Bonjour
je n'ai pas le temps de vérifie, la fonction arccos complexe n'étant pas très utlisée mais
je dirai bien que
1 . cos(z)= u admet (au moins) une solution pour tout u complexe.
2. Deux solutions sont égales ou oppsées modulo 2 \pi
3. Alors l'appplication u---> z définie une fonction multiforme et en introduisant des coupures on peut définier une (ou des fonctions arccos analytique sur des portions du plan complexe.
qu'en pensez vous @ben @lostounet???

Pas vu ton message lostounet.

[Ben314]

3. Alors l'appplication u---> z définie une fonction multiforme et en introduisant des coupures on peut définier une (ou des fonctions arccos analytique sur des portions du plan complexe.
qu'en pensez vous @ben @lostounet???
Pas vu ton message lostounet.

Si, bien sûr on peut.
Perso, j'aime pas bien l'expression "fonction multiforme" qui, à mon sens est un oxymore (accoler deux mots dont le sens est contradictoire), et je préfère raisonner (et parler) en terme "d'ensemble de solutions", ce qui a en plus le bon goût d'être "parlant" pour un public bien plus large. Mais bon, c'est juste un problème de vocabulaire sans plus (*).

Après, la question, à mon sens, c'est de savoir, pour une personne qui ne connaît pas la théorie des fonction analytique (l'intégration sur des lacets, la notion de dérivation complexe), quelle peut être l'utilité pour elle de choisir une détermination particulière des "fonction multiformes" ?
Mon expérience de prof. me donne quand même pas mal l'impression que, par exemple, d'introduire trop tôt la fonction arccos (plus précisément de l'introduire avant que ne soit parfaitement acquis la façon de résoudre les équations du type cos(x)=a sur un cercle trigo.), c'est une grosse connerie sur le plan pédagogique qui va notablement augmenter la proportion d'étudiant qui, quelque temps plus tard, feront comme si les équations du type cos(x)=a avaient une unique solution.

Bref, pourquoi pas définir UNE détermination du cos^-1 (ou de la racine carré ou du log), mais, une fois que c'est fait, à part de faire constater que les propriétés classique du style racine(a*b)=racine(a)*racine(b) ne sont plus vérifiées du fait (justement) qu'on a choisi une détermination particulière, je sais pas trop à quoi ça peut servir.

(*) Encore que, le post. de Matmdr montre bien que, pour lui, la racine carré et le log (complexe dans les 2 cas), ça se manipule comme si c'était des fonctions et je me demande si c'est pas du fait qu'il à lu quelque part que c'était des "fonction multiformes" et que, ne comprenant pas ce que signifiait le "multiforme", ben il a fait comme si c'était des fonctions.... (sauf que de voir qu'il écrit du sans même se préoccuper de savoir si la fonction cosinus est bijective ou pas et qu'il écrit que alors que rien qu'avec des réels négatifs, déjà c'est faux, ça donne l'impression que le problème est plus profond que ça)

[Matmdr]

Déjà, merci pour toutes vos réponses. Ensuite, je vois bien que ce calcul dépasse largement mes compétences mais le problème c'est que j'ai besoin du résultat maintenant. Du coup je m'en remet à vous qui lisez ce sujet : est-ce que quelqu'un serait en mesure de me donner les solutions à ce calcul ? Je m'en sortirais pas tout seul

Merci (encore)

[Lostounet]

Ok..
On a mis 5 posts à t'expliquer pourquoi ton calcul n'a pas un résultat mais plusieurs possibles...(on te les a même tous donnés plus haut si tu prenais la peine de lire).

Et tu demandes encore"le" résultat...

[aviateur]

Oui, il faut comprendre que autour d'un sujet, on ne sait pas forcément à quel niveau est posée la question et les remarques peuvent dépasser les compétences. Alors il faut prendre ce que l'on comprend et laisser de côté le reste pour le moment.

Pour le résultat je n'ai pas lu ce qu'il y a au dessus .
Donc il faut résoudre
cos(z)=i on pose
soit cos(x+iy)=i= cos(x) ch(y)-i sin(x) sinh(y) ..... Le reste est relativement facile.

[Ben314]

Résultat (post de 15h00...) :

l'équation
...
et on trouve avec

Et si tu tient mordicus à n'avoir que UNE ET UNE SEULE valeur pour ton , ben t'a qu'à jeter un dés et prendre comme valeur de la valeur que tu trouve sur le dés, (mais ne vient pas te plaindre ensuite que tu trouve des trucs complètement aberrant dans la suite du problème).

[Matmdr]

Ok merci et par « le résultat » j’entends l’infinité de solution. On a pas tous le même niveau en maths et j’ai vraiment l’impression d’etre pris de haut, c’est peut être qu’une impression m’enfin... Je lis tout mais je ne comprends pas tout.

Et Ben quand tu as posté ton message il y a avait marqué « [...] niveau Lycée + epsilon »

[Ben314]

Et Ben quand tu as posté ton message il y a avait marqué « [...] niveau Lycée + epsilon »

Oui, effectivement, dans le premier post que j'avais mis, j'avais mis lycée + epsilon, du fait que je n'avais pas fait les calculs à ce moment là (donc les solutions n'y étaient pas non plus).
Et c'est quand j'ai fait les calculs et rajouté les solutions que j'ai enlevé le "+ epsilon" vu qu'en fait il n'y a rien de difficile ni aucune connaissance particulière à avoir (une fois qu'on dispose d'une définition de ce qu'est un cosinus complexe)