DL de cos

[Abilys38]

Bonjour,

Je dois réaliser le développement limité de: à l'ordre 2 au voisinage de 2 .

J'ai tenté le changement de variable y = x - 2 mais ça ne mène nul part pour le moment.
Quelqu'un a un indice pour moi?

Merci!

[pascal16]

si x est au voisinage de 2pi, ce qui est dans le cos est au voisinage de 3pi.

perso, je conjuguerais un cos (pi+h) avec le y=x-2pi
tu as du développer ton expression
pour la racine : je met y en facteur (qui fera du racine de y), le reste, je le met sous la forme d'un carré (un pseudo forme canonique en gardant les puissances les plus faibles)
ça me fait apparaître des racines de y qui disparaissent ensuite
cos (pi+h) =-1+h²/2-h^4/24+o(h^5) si je ne me trompe pas
la racine puissance 4 me fait apparaître un terme en x², il faut bien le garder

variante : exponentielle complexe.

pour vérifier :
https://www.wolframalpha.com/input/?i=series+cos(sqrt(+x%5E2%2B5*pi%5E2))+at+x%3D2*pi

[Abilys38]

Donc:



Puis vous suggérez:

Je ne vois pas ou ça me mène...

[Skullkid]

Bonjour, comme souvent pour les DL un peu "compliqués" il y a plein de façons d'arriver au résultat, mais personnellement j'essaye toujours de prévoir à quoi vont ressembler les calculs pour choisir la façon la plus rapide et la moins pénible. En particulier, c'est toujours bien de savoir à l'avance à quel ordre il faut pousser les DL intermédiaires — rien de plus frustrant que de s'apercevoir en milieu de calcul qu'on n'est pas allé assez loin ou qu'on a perdu du temps à calculer plein de termes inutiles qu'on finit par jeter dans le petit o.

Déjà tu as eu le bon réflexe de te ramener en 0 en posant x = 2pi + y. Tu cherches donc maintenant un DL à l'ordre 2 en y. L'idée générale du calcul ça va être de développer la racine, puis de développer le cos. La question c'est : à quel ordre dois-tu faire le DL de la racine pour t'assurer que tu tombes bien sur un DL d'ordre 2 au final ?

Comme l'a fait remarquer pascal16, l'argument du cos est au voisinage de 3pi, donc une fois que tu auras fait le DL de la racine, tu te retrouveras à développer quelque chose de la forme , où le correspond aux termes non constants de ton DL de la racine. En développant, tu tombes sur . Donc pour que cette dernière expression soit un DL2 en y, il te suffit de connaître le développement de à l'ordre 1 en y.

En faisant cette analyse préliminaire, tu te retrouves avec un plan pour calculer efficacement ton DL : commence par développer la racine à l'ordre 1 en y, puis développe le cos à l'ordre 2.

Et sinon, pour le développement de la racine, le principe est toujours de te ramener à des DL connus. Ici ça va être , donc essaye de faire apparaître une quantité de cette forme.

[Lostounet]

Personnellement vu que le DL demandé est que d'ordre 2, je me fais pas chier: je dérive la fonction deux fois et j'évalue au point x=2pi et j'écris la formule de Taylor.

C'est pénible dans tous les cas donc autant bourriner et y arriver de manière quasi certaine. C'est un peu moche mais ça paye :p

[Abilys38]

Merci pour vos conseils que j'ai bien compris.

Voilà ce que je tente:



Puis:

Donc

Merci beaucoup! Effectivement la méthode de double dérivée aurait pu aussi marcher Mais bon là ça m'a permis de mieux comprendre comment aborder des DL moins évidentes.

[pascal16]

j'ai fait à la main le calcul de f' et f"

f'=
f"=

f(2pi)=-1
f'(2pi)=0
f"(2pi)=4/9

f(x)=-1+0*(x-2pi)+2(x-2pi)²/9