Correction incomprise d'un exo sur les matrices

[polka-dots]

Bonjour, j'ai vraiment beaucoup de mal à comprendre le cours sur les matrices, si quelqu'un pouvait m'aider à comprendre la correction de cet exercice, et à m'expliquer comment on s'y "prend" (méthodes, etc.)

On considère la suite récurrence Un+2= 2Un+1 + 3Un, U0= 1 et U1=0. On pose Un= .
Prouver que Un+1= AUn, où A est une matrice à déterminer. En déduire l'expression de Un en fonction de n (on pourra travailler dans la base constituée des vecteurs (1,3) et (1,-1)).

Pour la première question, c'est bon. On trouve Un+1= AUn, avec A= . Plus particulièrement, on a: Un= (parce qu'on reconnaît une SG de raison A).

Comme prévu, on utilise la base constituée des vecteurs V1 (1,3) et V2(1,-1).

On a alors: matB(U)= .
On cherche à exprimer U(V1) et U(V2) dans la base (V1,V2).

Or, U(V1)= A.V1, avec A= mat(U). Là c'est bon.

C'est à partir de là, que je ne comprends pas:

On utilise une matrice de passage:

PB,canY, avec Y= , Y, vecteur colonne de U(V1) dans la base (V1,V2). OK.
Pcan,B= . OK.

-> On me dit qu'elles sont inverses l'une de l'autre, et qu'on doit résoudre un système:

PB,can= Pcan, B-1, d'où:

P= (Je ne comprends pas cette égalité, et je ne vois pas pourquoi elles sont inverses l'une de l'autre)

Je mettrais la suite après.

J'espère avoir de l'aide, merci.

[Ben314]

Salut,
La matrice de passage P d'une base B à une base B', c'est (par définition) la matrice qui permet de trouver les coordonnées d'un vecteur dans la base B connaissant celles dans la base B' (elle porte donc assez mal son nom...)

Cela veut dire que, si un même vecteur v a pour coordonnées (x,y) dans B et (x',y') dans B' alors on a : .
Cela implique que et donc que la matrice de passage de B' à B est .
Pour trouver , on peut effectivement partir de que l'on regarde comme un système de deux équations à 2 inconnues c'est à dire que l'on considère x et y comme connus et on cherche x' et y'.
Aprés résolution, la solution est de la forme x'=?x+?y ; y'=?x+?y et le te dit que les 4 ? forment... la matrice .

[polka-dots]

Bonsoir Ben314, ok j'ai compris, mais y a un autre hic: pourquoi utilise-t-on une matrice de passage ici? dans quel intérêt?

vu qu'on a A, on aurait pas pu tout simplement mis à la puissance n, A?

j'crois que je n'ai rien compris aux matrices! :triste:

[Ben314]

LE interêt ici dechanger de base, c'est de calculer plus simplement .
Effectifement, si sur un brouillon tu écrivait A, , , , et que tu as une trés bonne intuition, tu pourrait peut-être (pas sûr) entrevoir la forme générale de : je te conseillerais d'essayer pour voir qu'il faut... beaucoup d'intuition.
L'idée, c'est que, si on te demande de calculer une matrice M à la puissance n, il y a au fond un seul cas ou c'est "les doigts dans le nez", c'est le cas où la matrice M est diagonale (vérifie rapido que dans ce cas, éléver la matrice à la puissance n, ça revient simplement à élever les termes de la diagonale à la puissance n)
Conclusion : ta matrice A de départ n'est, hélas, pas diagonale, donc c'est la merde pour l'éléver à la puissance n...
Sauf que, si on arrive à écrire avec D diagonale, alors une minuscule récurrence montre que l'on aura et on aura ramené le problème au calcul de qui lui se fait les doigts dans le nez...
En fait, dans des tas de contextes différents, il est toujours utile d'essayer d'écrire une matrice A quelconque sous la forme avec D diagonale (sauf que des fois, c'est pas possible...)

[polka-dots]

ah ok, c'est bien plus clair

par contre j'ai 2 autres questions:

la matrice au milieu que j'obtiens, qui est donc matB(u) si j'ai bien compris, n'est pas diagonale, j'obtiens:

3 -1
9 1

si je calcule les u(v1), u(v2)..

une autre: on me dit qu'à la fin du corrigé (très peu détaillé), qu'on aurait pu ne pas calculer la matrice de passage, parce qu'on voit que: U(V1)= 3V1, etc."

Si vous pouviez m'éclairer là aussi :)

[Ben314]

Si la "matrice du millieu" était non diagonale, cela voudrait dire que... l'exercice est absolument sans intérêt...
C'est évidement posible, mais, dans ce genre de cas; en général, il vaut mieux soupsonner une erreur de calcul quelque part...
Ici, c'est le cas (erreur de calcul) :
Si alors
Si alors
Cela signifie que la "matrice du millieu" est qui est bien diagonale...
En fait, tu as commis l'erreur "archi classique" consistant à calculer correctement et mais à garder leurs coordonnées dans la base cannonique alors que ce qu'il te faut, c'est leur coordonnées dans la base .

[polka-dots]

merci Ben314!

Sauriez-vous aussi pourquoi on n'aurait pu ne pas calculer P et P-1?

[Ben314]

En ce qui concerne la fin de l'exercice, effectivement, une fois que tu as constaté que et , une mini récurence montre que et .
Tu en déduit que, pour tout réels et on a et, comme ce qui t'interesse c'est , il te suffit de chercher les réels a et b tels que : c'est un petit système de deux équations à deux inconnues. (en fait, c'est assez proche de la recherche de l'inverse de la matrice P...)

[polka-dots]

Un grand merci Ben314 ! :we: