Corps

[rain]

Bonjour, est-ce que quelqu'un sait comment on calcul la somme et le produit de tous les éléments d'un corps fini à q éléments?
Si on note K ce corps, alors K={0,1,2,...,q-2,q-1}. Je dirai que la somme vaut 0, mais je suis pas sur que çà marche toujours. Et pour le produit j'ai aucune idée. Quelqu'un peut-il m'aider?

[barbu23]

Bonjour : :happy3:
Soit :
Il s'agit de calculer : et dans :
Mais : je reflechis encore sur la reponse ! :happy2:
Amicalement ! :happy2:

[Imod]

Je dirais 0 si tu laisses le zéro et 1 sinon en regoupant chaque facteur avec son inverse ( 1 étant le seul facteur égal à son inverse ) .

Imod

[rain]

Et en disant que K est le corps des racines de X^q+X ça peut pas marcher en factorisant?

[leon1789]

Bonjour, est-ce que quelqu'un sait comment on calcul la somme et le produit de tous les éléments d'un corps fini à q éléments?
Si on note K ce corps, alors K={0,1,2,...,q-2,q-1}.

q est un nombre premier ? ou autre chose ?

Je dirai que la somme vaut 0, mais je suis pas sur que çà marche toujours. Et pour le produit j'ai aucune idée. Quelqu'un peut-il m'aider?

Pour q=2, la somme vaut 1.

Question importante : dans K, quels sont les éléments égaux à leur propre opposé ?

[barbu23]

[leon1789]

3 réponses en la même minute : y a de la concurrence ! :id:

[rain]

Je dirais 0 si tu laisses le zéro et 1 sinon en regoupant chaque facteur avec son inverse ( 1 étant le seul facteur égal à son inverse ) .

Imod

En fait j'ai pas préciser mais c'est le produit des élts non nuls.

[leon1789]

Je dirais 0 si tu laisses le zéro et 1 sinon en regoupant chaque facteur avec son inverse ( 1 étant le seul facteur égal à son inverse ) .

Imod

Théorème de Wilson : soit p premier impair, alors (p-1) ! = -1 mod p

1 et -1 étant les seuls éléments égaux à leur inverse

[rain]

q est un nombre premier ? ou autre chose ?



Pour q=2, la somme vaut 1.

Question importante : dans K, quels sont les éléments égaux à leur propre opposé ?

Dans l'énoncer c'est pas préciser, mais je pense que c'est une puissance d'un premier p qui doit être la caractéristique.

[leon1789]

Dans l'énoncer c'est pas préciser, mais je pense que c'est une puissance d'un premier p qui doit être la caractéristique.

oui, je le pense aussi.

Mais c'est faux d'écrire que K = {0,...,q-1} !
--> Z/qZ est un corps si et seulement si...


Les corps à q=p^n éléments sont un peu plus compliqués.

[barbu23]

car :

[rain]

oui, je le pense aussi.

Mais c'est faux d'écrire que K = {0,...,q-1} !
--> Z/qZ est un corps si et seulement si...


Les corps à q=p^n éléments sont un peu plus compliqués.

K n'est pas égale à {0,...,q-1}, mais est isomorphe, c'est çà?

[leon1789]

car :

Ok, si q est un nombre premier impair (:!: à la division par 2...)

[leon1789]

K n'est pas égale à {0,...,q-1}, mais est isomorphe, c'est çà?

non non.
Donne un exemple de corps à 4 éléments :id: Faut bien en passer par là je crois :id:

[rain]

non non.
Donne un exemple de corps à 4 éléments :id: Faut bien en passer par là je crois :id:

Je sais pas.

[rain]

Z/4Z à 4 élts mais 4 pas premier donc pas un corps.

[Imod]

1 et -1 étant les seuls éléments égaux à leur inverse

Bien sûr , je me suis fait peur avec la caractéristique 2 et du coup je raconte une énormité . Le produit est égal à 1 en caractéristique 2 ( car 1=-1 ) et -1 sinon .

Imod

[leon1789]

Bien sûr , je me suis fait peur avec la caractéristique 2 et du coup je raconte une énormité . Le produit est égal à 1 en caractéristique 2 ( car 1=-1 ) et -1 sinon .

Imod

Oui

(en fait on peut dire -1 dans tous les cas, puisque -1 = 1 en caractéristique 2 )

[leon1789]

Je sais pas.

Z/4Z à 4 élts mais 4 pas premier donc pas un corps.

Un corps à 4 éléments est isomorphe à Z/2Z[x] / : l'anneau de polynômes en x à coefficients dans Z/2Z quotienté par l'idéal engendré par x²+x+1. Cela vous parle ?