Corps non commutatif

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
Guigui1Pierre
Membre Naturel
Messages: 79
Enregistré le: 30 Sep 2019, 19:35

corps non commutatif

par Guigui1Pierre » 19 Sep 2021, 00:59

Bonjour,
J'ai lu que les corps ne sont pas tous commutatifs. Est-ce que vous en auriez un exemple? Si possible, simple.



GaBuZoMeu
Habitué(e)
Messages: 4806
Enregistré le: 05 Mai 2019, 11:07

Re: corps non commutatif

par GaBuZoMeu » 19 Sep 2021, 08:47

Bonjour,

Un corps est commutatif. Si la multiplication n'est pas commutative, on parle de corps gauche ou d'algèbre à division. Exemple : les quaternions.

hdci
Membre Irrationnel
Messages: 1880
Enregistré le: 23 Juin 2018, 18:13

Re: corps non commutatif

par hdci » 19 Sep 2021, 12:58

En fait, "il y a longtemps" la définition d'un corps n'imposait pas la commutativité (c'est ce que j'ai appris dans les années fin 70-début 80), mais il semble que depuis il ait été convenu qu'un corps serait commutatif.

On peut penser que les raisons en sont : tous les corps usuels sont commutatifs : tous les corps finis d'une part, et Q, R, C. Le "premier corps non commutatif" est l'ensemble des quaternions.

Donc par convention, on appelle "anneau à division" un anneau dans lequel tout élément sauf zéro admet un inverse (autrement dit, l'ensemble sauf zéro est un groupe multiplicatif), et par suite un corps est un anneau à division commutatif.
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

GaBuZoMeu
Habitué(e)
Messages: 4806
Enregistré le: 05 Mai 2019, 11:07

Re: corps non commutatif

par GaBuZoMeu » 19 Sep 2021, 16:09

Rétablissons l'histoire.

Depuis le début de la théorie axiomatique des corps (Steinitz), les corps sont commutatifs.
Traditionnellement, quand on n'a pas de commutativité de la multiplication, on parle d'algèbre à division (c'est en ces termes-là que Wedderburn formule son fameux résultat), ou aussi corps gauche (Schiefkörper en allemand, skewfield en anglais).
Il semble qu'étendre l'appellation de "corps" au cas non commutatif soit une spécificité française initiée par Bourbaki. On revient maintenant à la tradition algébrique.

 

Retourner vers ✯✎ Supérieur

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 19 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite