Corps et Idéaux

par **Joker62** » 11 Sep 2008, 16:46

Bonjour à tous

Je suis actuellement en pleine lecture d'un bouquin de Patrice Tauvel et il y a une partie qui m'échappe :

Je cite :

Patrice Tauvel a écrit:Théorème :
Soit K anneau, LASSE :

i) K est un corps
ii) K est non nul et ses seuls idéaux à gauche sont {0} et lui-même
iii) K est non nul et ses seuls idéaux à droite sont {0} et lui-même

Ce sur quoi je bute, c'est la remarque qui suit l'énoncé du théorème :

Remarque a écrit:Si dans un anneau A, les seuls idéaux bilatères sont {0} et A, alors A n'est pas nécessairement un corps.

Bon je vois la différence entre ces deux énoncés, mais je ne comprends pas très bien puisque pour moi si un idéal est bilatère alors il est idéal à gauche et à droite, ce qui entraînerait donc que A est un corps d'après le théorème précédent.

Donc ma question : Est-il possible de trouver un contre-exemple de cette sorte.
Merci

par **Doraki** » 11 Sep 2008, 16:55

Si un anneau a un idéal bilatère non trivial, alors il a un idéal à gauche (ou à droite) non trivial et donc c'est pas un corps.

Mais la réciproque ne marche pas.
Il suffit de trouver un anneau sans idéal bilatère non trivial, mais avec des idéaux à gauche et à droite non triviaux.

par **leon1789** » 11 Sep 2008, 16:56

Ce n'est pas parce qu'un anneau n'a que 2 idéaux bilatères, qu'il n'a que 2 idéaux à gauche (ou à droite).

Donc l'hypothèse de la remarque n'implique pas celle du théorème.

Non ?

par **Joker62** » 11 Sep 2008, 17:01

Haileau Haileau, merci pour les réponses déjà :o

Donc en gros il existe des anneaux où il y n'y a que des idéaux bilatères triviaux sans pour autant que les idéaux à gauche ou à droite ne le soient.

Au niveau des contres-exemples faut chercher de quel côté ?

Edit : Et oui je pensais que les idéaux bilatères était inclus dans l'ensemble des idéaux à gauche union ceux à droite
Mais j'ai pas réfléchi assez longtemp sur le sujet :D

par **nonam** » 11 Sep 2008, 17:14

Bonjour.
Tu peux chercher du coté des matrices réelles.

par **leon1789** » 11 Sep 2008, 17:16

Regrillé ... :cry:
J'allais dire les matrices 2x2

par **leon1789** » 11 Sep 2008, 17:17

Quand même, P. Tauvel aurait pu signaler un exemple... :triste:

par **Joker62** » 11 Sep 2008, 17:19

Oki oki :)
Me douter un peu que ça aller partir sur les matrices étant donné le manque de commutativité mais bon.
Faut avouer que Tauvel il est lourd lol !
C'est dur à suivre son livre, toujours des reports un peu partout...

Merci à vous tous ;)

par **leon1789** » 11 Sep 2008, 17:22

Après un livre de Tauvel, un livre de Bourbaki parait pédagogique :ptdr:

par **Doraki** » 11 Sep 2008, 17:33

Ca me parait dur de trouver un contre exemple parmi des matrices.

par **Joker62** » 11 Sep 2008, 17:40

J'tourne un peu en bourrique là c'est vrai :D
J'vais aller bosser et j'me repencherais sur ça plus tard.
Merci à tous, si vous trouvez n'hésitez pas ;)

Biz :p

par **legeniedesalpages** » 11 Sep 2008, 17:47

Bonjour,

Il me semble que

convient, les seuls idéaux bilatères sont

et

.

par **abcd22** » 11 Sep 2008, 18:28

legeniedesalpages a écrit:Il me semble que convient, les seuls idéaux bilatères sont et .

Oui et pour le montrer il suffit de montrer que si I est un idéal bilatère non nul alors il contient les matrices élémentaires en multipliant une matrice non nulle quelconque par des matrices bien choisies pour arriver à E_{i,j}.

par **leon1789** » 11 Sep 2008, 18:40

Juste en passant, cela n'a rien à voir avec les réels. Travaillons dans

tout simplement ! :zen: (K corps commutatif)

abcd22 a écrit:Oui et pour le montrer il suffit de montrer que si I est un idéal bilatère non nul alors il contient les matrices élémentaires en multipliant une matrice non nulle quelconque par des matrices bien choisies pour arriver à E_{i,j}.

Un idéal I ... I comme la matrice Identité ?!

Ok, je sors... :marteau:

par **yos** » 11 Sep 2008, 22:14

legeniedesalpages a écrit: convient, les seuls idéaux bilatères sont et .

Si I bilatère de Mn(K) contient une matrice A de rang r>0, il contient toutes ses équivalentes PAQ, donc toutes les matrices de rang r, donc celle avec juste r "1" en surdiagonale puis les puissances de cette dernière, l'une d'elle étant de rang 1, puis toutes les matrices de rang 1, donc toutes les élémentaires, donc toutes les matrices.
Ce qui est plus rigolo, c'est de trouver les idéaux à gauche. On doit avoir de la pseudo-principalité : les idéaux à gauche sont les

pour une matrice A.

par **Joker62** » 11 Sep 2008, 22:21

Yeahhhh
Bah dis donc !!! C'est du joli tout ça :)
Merci pour votre participation à tous
Je pars à la réflexion

Biz

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