Corps des rationnels Q

[Anonyme]

Bonjour

Apres avoir definit Q comme l'ensemble Z.Z*/R ou R est une relation d'
equivalence.

J'ai montre que Q était un corps commutatif ,mais je bloque sur qq
proprietes :



1)Pour montrer que Q est denombrable, j'ai montrer que Z l'etait, dc Z*
aussi dc Z.Z* l'est

Pr conclure je considere i : Q -> Z.Z* qui a la cl(a,b) associe (a,b)
(cl(a,b) est la classe du couple ds ma relation) i est injective est ce que
cela suffit pr conclure que Q est denombrable ???



2)En revenant a la def des classes j'ai mq p/q=(-p/-q) et p/(-q)=(-p)/q

ms comment mq pr tt rationnel il existe (p,q) ds Z.N* tq r=p/q

Le probleme etant de mq que q est ds N et pas ds Z



3)Je considere la relation R telle que pour tour (x,y) dans Q2 : xRy ssi
y-x appartient a Q+

Je veux en deduire que cette relation est d'ordre total sur Q compatible
avec les lois de Q.



Relation d'ordre -> reflexive, antisym et transitive (c'est ca?)

Ordre total -> j'ai dis que si xRy alors pour g ds Q on a x+g R y+g

De plus Q+ union Q- =Q et Q+ stable pour loi
multiplicative



Est ce suffisant ???



Merci de m'aider

[Anonyme]

> 1)Pour montrer que Q est denombrable, j'ai montrer que Z l'etait, dc Z*
> aussi dc Z.Z* l'est
>
> Pr conclure je considere i : Q -> Z.Z* qui a la cl(a,b) associe (a,b)
> (cl(a,b) est la classe du couple ds ma relation) i est injective est ce
> que
> cela suffit pr conclure que Q est denombrable ???

Oui, cela suffit car comme il y'a injection, le cardinale de Q est 2)En revenant a la def des classes j'ai mq p/q=(-p/-q) et p/(-q)=(-p)/q
>
> ms comment mq pr tt rationnel il existe (p,q) ds Z.N* tq r=p/q
>
> Le probleme etant de mq que q est ds N et pas ds Z[/color]

Pour tout rationnel r, il existe (p,q) dans Z.Z* tel que p/q=r ((p,q) est
dans la classe r)
si q est postif c'est gagné, si il est négatif, p/q=(-p)/(-q) avec -q
positif.
q étant toujours non nul, on a toujour (p' , q')=(p , q) si q>0 et (-p, -q)
sinon tel que r=p'/q' et q' dans N*



> 3)Je considere la relation R telle que pour tour (x,y) dans Q2 : xRy ssi
> y-x appartient a Q+
>
> Je veux en deduire que cette relation est d'ordre total sur Q compatible
> avec les lois de Q.

> Relation d'ordre -> reflexive, antisym et transitive (c'est ca?)

Oui

> Ordre total -> j'ai dis que si xRy alors pour g ds Q on a x+g R y+g

Hum nan, je crois pas : une relation d'ordre R sur E est dite relation
d'ordre total si deux éléments quelconques de E sont comparables, c'est à
dire on a situation x R y ou bien y R x.
Si y-x appartien à Q+ alors c'est bon (la 1° relation et vérifier)
sinon, y-x est danq Q- , d'ou x-y dans Q+ (car Q- et Q+ forme une partition
de Q) et alors c'est la deuxiéme relation qui est vérifiée


compatible avec les lois de Q -> "j'ai dis que si xRy alors pour g ds Q on a
x+g R y+g"
Ca c'est bon.

>
> De plus Q+ union Q- =Q et Q+ stable pour loi
> multiplicative
> Est ce suffisant ???

Je ne crois pas, en effet si ca marche sur Q+ ca n'implique pas forcement
que ca marchera pour Q- et enfin, si il y a un élément dans Q+ et l'autre
dans Q-, ca pose un peu pb...*
Enfin, j'ai jamais trop compris 'compatible', je crois que ce que l'on
demande c'est de vérifier que ca garde l'ordre ne multipliant pas un positif
et ca l'inverse par un négatif...

> Merci de m'aider

de rien.

[Anonyme]

il te reste qu'un problème c'est de dire que ZxZ est dénombrable. Pour ca tu peux faire un petit dessin : tu utilises juste un quart du plan c'est a dire NxN. (tu te débrouille ensuite de généraliser à Z). Tu marque d'un point tous les éléments de NxN. Tu poses ton crayon sur (0,0). Tu décale d'un cran sur l'axe des abcisses, puis tu remonte le long de la diagonale vers l'axe des ordonnées, puis tu montes d'un cran sur l'axe des ordonnées et tu reparts vers l'axe des abcisses par la diagonale, etc... ca dessine un chemin qui n'est rien d'autre que la droite de N repliée pour recouvrir le plan NxN tout entier !!!
On peut expliciter une fonction mais elle parle moins bien que ce dessin. C'est la représentation d'une bijection entre N et NxN. J'ai retrouvé cette fonction, c'est celle ci : (n,p)---->(n+p+1)(n+p)/2 je crois.

[Anonyme]

au fait, attention a ne pas parler de cardinal pour des ensembles infinis comme Q , Z ou R, ca n'a pas de sens !!! en effet, Z est dénombrable, mais il ne représente que des points séparés dans R. Q est dénombrable, mais il est dense dans R (on peut approximer n'importe quel point de R par une suite de points dans Q ) (N n'approxime rien dans R et meme pas dans Q). Q est peut etre dense, mais il est inimaginablement plus "petit" que R ( R\Q est indénombrable c'est a dire énorme). Le cardinal sert a comparer des ensembles finis. La densité et la dénombrabilité elles comparent des ensemblent infinis.

[thomasg]

bonjour, juste une remarque à propos du message précédent:
il me semble que l'on peut parler de cardinal pour les ensembles infini.
Ce sont les travaux de Cantor qui ont dans un premier temps défini ces notions

Sans rentrer dans les détails (possible si quelqu'un le souhaite), on appelle aleph0 le cardinal du plus petit ensemble infini (du plus petit ordinal non dénombrable). Aleph0 est donc le cardinal d'un ensemble discret (ie dénombrable).

On note alors aleph1 le cardinal de l'ordinal suivant (c'est à dire d'un ensemble continu , ie dense dans R)

Je parle ici de souvenirs lointains, donc désolé si il y a queques erreurs, de terminologie notamment.

au revoir

[Anonyme]

Juste quelques corrections aux réponses précédentes :

1)Pour montrer que Q est denombrable, j'ai montrer que Z l'etait, donc Z*
aussi donc ZxZ* l'est

Pour conclure je considère i : Q -> ZxZ* qui a la classe(a,b) associe (a,b)
(cl(a,b) est la classe du couple dans ma relation) i est injective est ce que
cela suffit pr conclure que Q est denombrable ???


Je ne veux pas jouer le trouble fête mais l'application i comme tu l'as définie n'a absolument rien d'injective ! La solution consiste à poser j : Z -> Q(Z) définie par j(a):=classe (a,1) où Q(Z) est l'ensemble des classes d'équivalences (a,b) de ZxZ* (on l'appelle corps de fraction) (j est appelé homomorphisme d'injection)
On montre alors que j est un homomorphisme d'anneau injectif (car son noyau est réduit à zéro) et qu'on peut donc voir Z comme un sous-anneau de Q(Z). Puisque Z est dénombrable (et donc aussi ZxZ*) et que j est injective il s'ensuit que Q est également dénombrable.
Si tu n'es pas satisfait pas cette preuve tu peux également t'amuser avec la méthode dite des "diagonales" de Cantor où tu fait correspondre à chaque entier N une unique classe d'équivalence en considérant des fractions du type p/q où p et q sont premiers entre-eux.

Pour les autres questions il me semble que les réponses sont plus ou moins correctes.


Petite remarque au sujet de la cardinalité des ensembles infinis : on peut très bien parler de cardinalité d'ensembles infini. On dira tout simplement qu'ils sont de cardinalité infinie, mais ce qui importe vraiment c'est comment comparer les cardinalités infinies. C'est Georg Cantor qui proposa une méthode basée sur des comparaison par bijections et introduisit la notion d'infini dénombrable et d'infini non dénombrable. Par exemple Z est infini dénombrable, de même que Q et plus généralement Z^n ou carrément des réunions dénombrables d'ensembles dénombrables. On montrera cependant que R est non dénombrable et qu'il ne peut pas être mis en bijection avec Q. Quand à savoir s'il existe un ensemble infini compris entre Q et R mais qui ne peut pas être mis en bijection ni avec Q ni avec R, ça c'est une affirmation indécidable avec l'axiome des nombres ZF.

[Anonyme]

1)
votre application i que vous définissez n'est pas définie par exemple
1 = 1/1 = 2/2 et alors i(1) =????
Pour montrer que Q est denombrable on peut par exemple
1)montrer que ZxZ* est dénombrable par exemple en définissant une injection de ZxZ* dans N (exemple d'injection à (p,q) j'associe 2^P.3^q si p et q sont positifs, 2^p.5^q si p positif et q négatif,7^p.3^q si p negatif et q positif et enfin 7^p.5^q dans le dernier cas)
2)en utiliser que N est "dans" Q (Q est donc infini), que l'application de ZxZ* dans Q qui à (p,q) associe p/q est surjective.

2)
la classe de (a,b) = classe de (-a,-b) et l'un des deux entiers relatifs b et - b est un entier naturel.

3)
on a un ordre total si pour tout a et b dans Q on a aRb ou bRa.
Q+ est l'ensemble des classes classe(a,b) avec a et b positis.
en utilisant alors le 2 et la definition de l'addition il est aisé de prouver que la relation d'ordre est totale et qu'aussi Q+ est stable pour la multiplication.
Comme les éléments de Q+