[MPSI] Corps et calculs

[Euler07]

Bonsoir

Soit K un corps et x,y deux éléments non nuls de K avec x + y = -1 et x-1 + y-1 = 1 (-1 en exposant)
Je dois montrer que xy = -1

J'ai essayé (x+y)² en vain puisque que je dois aussi utiliser l'autre condition. Une piste ?

:livre:

[Skullkid]

Bonsoir, tu peux commencer par essayer de résoudre l'exercice dans le corps des réels, ça dissipera peut-être le flou artistique. Dans tous les cas, essaye de lier les deux conditions qui te sont données, en transformant l'une pour qu'elle ressemble à l'autre.

[Euler07]

Dans le corps R, je trouve après calculs (x+y)/xy = -1 et comme x+y = -1 xy = -1. En revanche pour qu'une égalité après transformation ressemble à l'autre... je sèche.

:livre:

[Skullkid]

C'est ce que tu viens de faire (avec une coquille) : tu as réécrit en .

En revanche j'ai oublié de te demander de confirmer que ta définition de "corps" inclut la commutativité de la multiplication. J'imagine que c'est le cas mais bon...

[Euler07]

Ah oui d'accord :id:
Pour la commutativité je me suis posé la question mais je pense que cette hypothèse est exclue vu que l'énoncé n'en parle pas. Mais bon un corps qui n'est pas commutative c'est pas souvent...

:livre:

[Skullkid]

La question c'est de savoir si la commutativité est inscrite dans la définition des corps que tu utilises. Si oui, ce que j'ai écrit plus haut suffit. Sinon ça ne marche pas, puisque dans un corps gauche l'égalité n'est pas garantie.

L'énoncé reste valide sur les corps gauches, mais il faut modifier un peu la transformation.

[Euler07]

Ah merci pour cette précision :lol3:
Oui comme le dit mon livre " Tout les corps étudiés sont supposés commutatifs "

:livre:

[Skullkid]

Ok dans ce cas ta démo est bonne. Si ça t'amuse tu peux chercher une solution sans utiliser la commutativité, elle n'est pas très différente de celle déjà écrite.

[Euler07]

Eh bien là en ce moment je cherche à montrer a^4 + b^4 = 7. En développement (a+b)^4 ?

Ps : C'est quoi un corps gauche :hein:

:livre:

[Skullkid]

Qui sont a et b ? Un corps gauche c'est un corps dans lequel la multiplication n'est pas supposée commutative.

[Euler07]

Oups x^4 + y^4 = 7.
Si K est un corps gauche je me retrouve avec (y+x)y-1x-1 = 1

:livre:

[Skullkid]

Oui développer (x+y)^4 est une bonne idée pour montrer que x^4 + y^4 = 7.

Si K est un corps gauche je me retrouve avec (y+x)y-1x-1 = 1

Pourquoi ? A priori et rien ne te dit que .

[Euler07]

x+y = - 1. On peut pas dire que y+x = -1 ou on peut pas savoir ?

:livre:

[Skullkid]

L'addition est toujours commutative dans un corps (dans un anneau en général). C'est la commutativité de la multiplication qui n'est pas garantie.

[Euler07]

Ah ba oui, c'est la définition même d'un corps (K,+,x) :dodo:
Je suis un peu perdu, en fait c'est la notation x-1 qui me fait peur. Concrètement cela veut dire le symétrique de x. Dans quel cas on écrit x-1 = 1/x ?

:livre:

[Skullkid]

Tu peux choisir d'écrire l'inverse de x comme étant 1/x quand tu veux. Le souci c'est que si la multiplication n'est pas supposée commutative, cette écriture peut induire en erreur vu qu'on a l'habitude de l'utiliser pour les réels et les complexes. Avec cette notation, dans un corps gauche, est vraie, mais on n'a pas forcément . Donc pour éviter de faire une erreur sans s'en rendre compte, il vaut mieux rester avec la notation .

[Euler07]

Ah oui en effet :id: Mais c'est pas l'inverse plutôt dans ton exemple (xy au dénominateur et yx pour l'autre ?)

:livre:

[Skullkid]

Non c'est bien qui est vrai en général.

[Euler07]

Non c'est bien qui est vrai en général.

Mais pourquoi tu as inversé x et y ? :hein:

:livre:

[Doraki]

Quel est l'inverse de yx si tu connais l'inverse de x et l'inverse de y ?