Corde commune à des cercles paramétriques

[ZeD]

Bonjour à tous, je suis nouveau sur le forum donc j'espère poster dans la bonne section :we:

Voilà, j'ai un problème géométrique dont je ne trouve pas la solution... :help: En fait je cherche une solution analytique pour une construction assez simple.

Je cherche l'ensemble des points d'intersection de deux cercles C1 et C2 paramétrés par une variable t (le temps) dans le plan. C1 est de rayon fixe mais son centre se déplace sur une droite au cours du temps, tandis que C2 est de centre fixe, mais a son rayon qui augmente linéairement au cours du temps.

Les données du problème :

• P le point d'origine de C1
• O le centre de C2 (constant)
• D le vecteur directeur (non normé) du déplacement de C1 (constant)
• V la vitesse d'expension de C2 (constante)
• R le rayon de C1 (constant)
• r = V*t le rayon de C2 (variable par rapport à t donc)
• A = P + D*t le centre de C1 (variable par rapport à t donc)
• C1: (x - xA)² + (y - yA)² = R²
  soit
  C1: (x - xP - xD*t)² + (y - yP - yD*t)² = R²
  ou encore en paramétrique
  x(t,a) = xP + xD*t + R * cos(a)
  y(t,a) = yP + yD*t + R * sin(a)
• C2: (x - xO)² + (y - yO)² = r²
  soit
  C2: (x - xO)² + (y - yO)² = V² * t²
  ou encore en paramétrique
  x(t,b) = xO + V * t * cos(b)
  y(t,b) = yO + V * t * sin(b)

Pour info j'ai essayé de développer les équations et je me retrouve toujours coincé (en paramétrique il me manque une équation reliant a et b).
Si quelqu'un a une solution, je lui devrais une fière chandelle :++:

Je vous donne tout de même le cadre de ce problème, pour la petite histoire : je suis doctorant en informatique, et j'utilise cette construction géométrique pour de la détection de collision...

Merci d'avance :happy3:

[MikO]

salut,

pourrais tu expliciter la relation qu'il existe entre les coordonées du centre de c1 ( celui se deplacant sur la droite ) et le temps ? merci.

hum ce n'est pas necessaire. en fait tu as :

x(t)=x'(t)
y(t)=y'(t)

=> x(t)-x'(t)=0 & y(t)=y'(t)
pour simplifier les notation x(t)-x'(t)= A+E*cos(a)-Fcos(b) =0
tu peux ecrire E*cos(a)-Fcos(b) sous a forme Z*cos(i+j)
de meme y-y'= X+ W*cos(k+l)

[ZeD]

Oups, c'est balo, je me suis trompé dans l'énoncé, en fait le centre de C1 est A (indiqué précédemment comme centre de C2).

Désolé, c'est modifié dans le 1er post :marteau:

Et de 2, décidément :marteau: :marteau:
La formule paramétrique pour C2 est bien entendu dépendante de b et non de a :briques:

[MikO]

tu peux ecrire que y-y'=0=x-x'
=>y-x=y'-x'
tu peux re ecrire A*cos(a)+B*sin(b) sous la forme de C*cos(c), ca peut donner qq chose

[ZeD]

A*cos(a)+B*sin(b) sous la forme de C*cos(c)

Euh, je ne connais pas (plus?) cette formule trigo... (bon c'est vrai que ça remonte à loin pour moi, 10 ans le bac)

Il y a bien les
cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b
sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b
cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b
sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b
mais là ça ne s'applique pas.

On se retrouve avec
yO-xO + V*t*( sin(b) - cos(b) ) = yP - xP + R*( sin(a) - cos(a) ) + t*(yD-xD)
où t, a, b sont des inconnues...

[anima]

Euh, je ne connais pas (plus?) cette formule trigo... (bon c'est vrai que ça remonte à loin pour moi, 10 ans le bac)

Il y a bien les
cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b
sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b
cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b
sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b
mais là ça ne s'applique pas.

On se retrouve avec
yO-xO + V*t*( sin(b) - cos(b) ) = yP - xP + R*( sin(a) - cos(a) ) + t*(yD-xD)
où t, a, b sont des inconnues...

Tu t'attendais à quoi? Par contre...Je pense qu'il est capable d'arriver à un t=P(a,b) assez facilement...

[nuage]

Salut,
je pense qu'un chagement de repère facilite les choses.
En plaçant l'origine en O et en prenant, par exemple, le premier vecteur de base colinéaire à D on a :

ce qui n'est pas trop difficile à résoudre.

[MikO]

A*cos(a)+B*sin(b)= comme et sont plus petits que 1 il existe bien un reel T dans [0,2PI[ tel que ces quantites secrivent sous la forme sin(t) cos(t)
et tu utilise la formule de cos(a+b)=... pour finir

[ZeD]

Salut,
je pense qu'un chagement de repère facilite les choses.
En plaçant l'origine en O et en prenant, par exemple, le premier vecteur de base colinéaire à D on a :

ce qui n'est pas trop difficile à résoudre.

Simplification intéressante, mais la première équation est inexacte. C'est: avec xP et yP les coordonnées de P dans le nouveau repère.

J'ai essayé de la développer hier soir, ça coince très vite avec un delta du polynôme de degré 2 contenant des t montant à des exposants indécents :mur:

[ZeD]

A*cos(a)+B*sin(b)= comme et sont plus petits que 1 il existe bien un reel T dans [0,2PI[ tel que ces quantites secrivent sous la forme sin(t) cos(t)
et tu utilise la formule de cos(a+b)=... pour finir

J'essayerais cela après demain... :we:

Pour le moment, JOYEUX NOEL à tous :++: