Coordonnées polaires d'une projection de point sur une spirale logarithm. paralelle

[romainbonnotte]

Bonjour a tous,

D'un niveau terminale S un peu a l'abandon, je suis néanmois confronté a un problème de taille: Je suis en train d'essayer de tracer dans winplot un projet design et j'ai besoin de trouver (pour la tracer) l'equation de la droite perpendiculaire à la tangente d'une spirale logarithmique au point M.


J'ai en fait 2 spirales paralelles d'equation:

C: r=a.e^(b.t) et

C': r=a.e^(b.t)+c

Je cherche a trouver pour tout point M de C, l'equation de la droite perpendiculaire en M à la tangente en M de C...

Et finalement, j'espere grace a cela pourvoir trouver les coordonnées polaires du point M' appartenant à C', se trouvant à l'intersection de C' et de la perpendiculaire précédemment trouvée...


Pourriez vous m'aider en me donnant la formule mathématique qui me permettrai de trouver les coordonnées de M' ???


Merci d'avance pour cette aide dont j'ai vraiment besoin...(Projet design a rendre bientôt)


Romain Bonnotte

[serge75]

Plaçons nous dans la base (u_t, v_t) où u_t a pour coordonnées (cos(t),sin(t)) et v_t a pour coordonnées (-sin(t),cos(t)).
Dans cette base, la vitesse a pour coordonnées (r',r)=(ab.e^(bt),a.e^bt).
En supposant a non nul, un vecteur directeur de la tangente au point de C de paramètre t est le vecteur de coordonnées (b,1).
Un vecteur normal est le point de coordonnées (-1,b).
Récapitulons :
La droite que tu cherches est, dans le repère (O,u_t,v_t), la droite passant par M(a.e^(bt),0) et dirigée par u(-1,b).
Une équation en est bx+y=ab.e^(bt).
Une équation polaire de C' dans ce nouveau repère est :
r=a.e^(b(s-t)) : j'appelle s le paramètre courant de C', qui n'a rien à voir avec t qui est le paramètre sur C du point M choisi ; s est l'angle entre u_t et OM' où M' est un point de C'. Donc M' a dans ce repère pour coordonnées :
((a.e^(b(s-t))+c)cos(s), (a.e^(b(s-t))+c)sin(s)).
M' est donc sur ta droite ssi :
b(a.e^(b(s-t))+c)cos(s)+(a.e^(b(s-t))+c)sin(s))=ab.e^(bt) (j'espère ne pas avoir fait de faute de calcul)
De là, tu es face à une sale équation à résoudre en s qui a une infinité de solutions (ça se voit trés facilement en dessinant tes deux spirales). Et surtout n'oublie pas que les coordonnées sont données dans le repère (O,u_t,v_t). Bon courage !
PS : tes deux spirales ne sont pas parallèles, vu que l'une s'enroule autour de l'origine, l'autre autour du cercle de rayon c)
PS2 : vérifie soigneusement mes calculs, je les ai fait à la va-vite.
PS3 : il y a sans doute mieux à faire...