[mpsi] coordonnées barycentriques

[Anonyme]

Salut à tous,

Voilà en gros mon pb : on se donne trois points du plan A, B, C non alignés,
on se donne P un point intérieur au triangle ABC.

Montrer qu'il existe (a,b,c) réel (unique) tel que a + b + c = 1 et aMA +
bMP + cMC = MP le tout en vecteur.

J'arrive à aMA + bMB + cMC = MP erreur d'énoncé ou je me suis trompé de
chemin ?

Voilà mon developpement :
(je parle tout le temps en vecteur)

Dans la base (AB,AC) on a :
MP = aAB + bAC = a(AM+MB) + b(AM+MC) = aAM + aMB + bAM + bAC

= (a+b)AM + aMB + bMC

= (-a-b)MA + aMB + bMC

= cMA + aMB + bMC
Avec a + b + c = -a - b + a + b = 0

Bon il doit y avoir une erreur ^ ^
J'arrive pas a ce que l'on cherche !

[Anonyme]

J'ai trouvé une méthode de résolution :

Dans un repére affine du plan (A, vAB, vAC)
P = A + a*vAB + b*vAC (1)

On a ainsi un repére cartésien : (A, vAB, vAC) et les coordonnées
cartésiennes de P sont (a,b)
Posons c = 1 - a - b

On a (1) <=> vAP = c*vAA + a*vAB + b*vAC
Avec a + b + c = 1
Donc pour tout M du plan :
vMP = c*vMA + a*vMB + b*vMC
avec a + b + c = 1.

Comme (vAB, vAC) est une base du plan, alors on a existence et unicité de la
décomposition en barycentre.

Et a, b,c sont appelés coordonnées barycentriques de P dans le repere affine
(A, AB, AC)

Est-ce correct ?