Coordonées entières

[Cryptocatron-11]

Bonsoir,

j'ai un problème pour montrer un énoncé très simple de compréhension. Le voici :

Soient neuf points à coordonnées entières dans R3. Montrer que l'un des segments joignant deux de ces points contient en plus de ses deux extrémités un point à coordonnées entières.

J'ai commencé par représenter schématiquement un graphe dans R² où il fallait au minimum 4 points pour vérifier cette règle. avec 4 points dans R² ça marche toujours sur mon schéma .

Mais comment démontrer ce truc rigoureusement ??!!

[windows7]

salut,

si je prend dans IR² les points (0,0) (1,0) (0,1) (1,1) bah ca marche pas ton truc ..

[Ben314]

Salut,
Oui, mais avec 5 dans le plan, ça marche et, plus généralement, avec 2^d+1 points en dimension d, ça va marcher.
Une indic. ? (en blanc) :
Raisonner modulo 2...

[Cryptocatron-11]

ok merci pour l'indice mais pourquoi en blanc =)

Oui c'était bien 5 excuse moi.

[Ben314]

L'indice "en blanc", c'est pour si il y en a qui veulent chercher : on ne la lit pas "sans faire exprés".
Je te laisse chercher : c'est pas super difficile avec l'indic (sans l'indic, on peut tourner en rond un bon moment...)

[Cryptocatron-11]

ok merci . Je vais aller me coucher et j'y réfléchirai mieux demain matin avec la tronche détendue parce que là ...

[Cryptocatron-11]

Re,

oui donc je suis parti des tiroirs de Dirichlet en fait.
je me suis intéressé à la parité des coordonnées des 9 points.
Il y a plusieurs possibilités :
(pair, pair, pair)
(pair, pair, impair)
(pair, impair, pair)
....

On en recense 2^3 soit 8.

En tout on a 9 points. Il y aura donc deux points qui auront leur coordonnées de même parité.

Or un segment qui relie deux points distincts ayant des coordonnées de même parité, contient en plus de ses deux extrémités un point à coordonnées entières.

C'est cohérent ou pas comme raisonnement ?

[Ben314]

C'est Nickel (et c'est la seule méthode que je conaisse...)