Convergence uniforme

[Tcheby]

Je tombe en désaccord avec le corrigé de l'exercice que voici:

soit f
définie, continue sur R+
lim(+infini) f = 0
f(0)=0

on définit
fn : x-> f(xn)

Etudier la convergence uniforme de fn sur tout compact de R+
Qu'en pensez vous?

[Alpha]

Puisque tu disposes du corrigé, peut-être pourrais-tu nous le fournir, du moins dans les grandes lignes, et nous dire le point qui te pose problème?

[fahr451]

bonjour

convergence uniforme sur tout [a,+infini[ avec a>0

pas cv uniforme sur [0, a]

[yos]

converge simplement vers la fonction nulle.

1) Si , avec a>0.
Si n est assez grand, alors na est assez grand et donc nx aussi, de sorte que f(nx) est assez proche de 0. On a donc cvu sur .

2) Sur .
Je pense qu'il n'y a pas cvu car (dernière égalité pour n assez grand) et donc ce sup ne tend pas vers 0.

[fahr451]

preuve

a>0

soit epsilon >0 il existe A telque pour x>A l f(x) l < epsilon

pour n0 > A/a et pour n >=n0 on a na> A et pour tout x >=a , nx>A
donc l fn(x)l < epsilon

ce qui assure la cv uniforme vers 0 sur [a,+inf [

pour [0,a]

fn(x) = f(nx) on a 0=
et quand n ->+infini ce sup tend vers sup l f l sur R+ non nul (sauf si f = 0 )

[Tcheby]

Aucun problème.
En fait le corrigé fait une étude de la convergence uniforme sur un intervalle du type [0,a] avec a élément de R+
lorsque n tend vers +infini, na tend vers +infini
or sup(fn) sur [0,a] = sup(f) sur [0,na]
donc lim sup fn =sup f sur R+ est diffèrent de 0 si f n'est pas la fonction nulle
donc la convergence n'est a priori pas uniforme sur un tel intervalle

Mon raisonnement était de dire
il existe b dans [0,a] tel que f(nb)=sup fn sur [0,a]
or lim n->+infini f(nb) = 0
donc je trouvais une convergence uniforme

[Tcheby]

preuve

a>0



pour [0,a]

fn(x) = f(nx) on a 0=+infini ce sup tend vers sup l f l sur R+ non nul (sauf si f = 0 )

est-ce que tu saurais me dire où mon raisonnement est faux sur [0,a]

[fahr451]

je devrais écrire des bouquins de corrigé d 'exos ça mettrait du beurre dans les épinards.

[fahr451]

absolument ton b dépend de n rien ne garantit que nb ->+infini
par exemple si b = 1/n nb = 1 et f(1) ne tend pas vers 0...

[Tcheby]

ah effectivement j'aime beaucoup l'explication. Merci beaucoup.

[yos]

je devrais écrire des bouquins de corrigé d 'exos

Manuscrits?

[fahr451]

ahah c 'est bas yos :)