Soit la série de fonction : sum( (-x)^n /n ), x un réel
1) Etudier la convergence simple de cette série :
Avec le critère de D' Alambert, avec /x/ ma notation pour le module, pour /x/>1, divergence
et pour /x/<1 convergence ; En x=1, série alternée donc convergence et en x=-1, la série harmonique 1/n donc divergence
Ainsi convergence simple sur D=]-1,1] vers S
2)a) Etudier la convergence normale et uniforme sur D
Bon, pour la CVN : le sup du terme générale de la série sur D est égale à 1/n , on retrouve la série harmonique 1/n, pas de CVN.
Pour la CVU : Le sup du reste de la série est en particulier supérieur au reste évalué en -1 qui est supérieur à 0 car reste de la série 1/n.
2)b) La somme S est-elle continue ?
Voilà, là je bloque, n'ayant pas la CVU, il faut voir si on a ou non la convergence uniforme sur tout compact.
On regarde donc le sup du reste de la série sur [a,b] avec -1
Bon quand b différent de sa valeur limite, aucun problème, mais dans le cas contraire, je n'arrive à rien : (Déja, est-ce qu'il faut considéré le cas a=-1 ?( je ne pense pas mais bon)) et pour b=1, je n'arrive pas à prouver une convergence uniforme vers 0 (en faite, ce n'est pas sur que ça soit le cas mais je n'arrive pas à prouver le contraire non plus)
Voilà, il est aussi probable que je me sois trompé dans les questions précédentes, j'attends avec impatience vos retours !
Edit: Vu la tournure de la question, je pense que la réponse est qu'il n'y a pas continuité, je me demande donc si je n'ai pas zappé un théorème qui permettrait de conclure en une ligne.