Convergence uniforme question de base

[niky niky]

Bonjour les matheux,

J'aurais une toute petite question à vous poser.
Comme le nom l'indique, ça concerne la convergence uniforme d'une suite de fonction.

Je bloque sur la convergence uniforme de la fonction:
R plus --> R
fn(x) = ln ( 1 + x/n)

La convergence simple est simple ( :we: )
On a fn --> 0 pour n tendant vers l'infini

Pour la convergence uniforme, il s'agit bien de calculer la norme infini de la différence de ||fn - f|| et de vérifier qu'elle tend bien vers 0

Donc, la clairement, || ln ( 1+ x/n) || --> 0 pour n infini.
J'aurais tendance à dire que fn converge uniformément vers f sur R mais pourtant, la correction ne donne pas la convergence uniforme sur R mais sur [0,a], a réel positif fixé.
Pourquoi ???? :marteau: :marteau: :marteau: :marteau: :mur: :mur: :mur:


Merci d'avace !

[raph107]

Pour tout n, ||fn|| = +l'infini donc la suite (fn) ne converge pas uniformément sur R

[jlb]

tu considères la suite de points de R+ (xn)=(n), tu as fn(n)= ln(2) pour tout n donc (fn) ne converge pas uniformément sur R+ vers la fonction nulle.

[niky niky]

Tout d'abord merci de vos réponse jlb et raph.

Je pense que j'ai mal du comprendre la définition.
Pour moi on fixait x, et on faisait tendre n à l'infini.
Par exemple, fn_(2) = ln (1+ 2/n) et en noo --> 0

Mais en réalité, il faut raisonner à n fixe c'est bien ça ?

[raph107]

ça c'est la limite simple mais pas uniforme.
La suite (fn) tend simplement vers la fonction nulle. Si elle admettait une limite uniforme, cette limite serait sa limite simple c'est à dire la fonction nulle. Or, pour n fixé,||fn - 0|| = sup|fn(x)| pour x appartenant à R = +l'infini donc lim||fn-0|| = +l'infini quand n tend vers +l'infini.

[jlb]

Je pense que j'ai mal du comprendre la définition.
Pour moi on fixait x, et on faisait tendre n à l'infini.
Par exemple, fn_(2) = ln (1+ 2/n) et en noo --> 0
( ça, c'est la convergence simple tu construis la fonction limite point par point: dans ton cas, tu fixes x dans R+ alors la suite (fn(x) tend vers 0 donc tu poses f(x)=0 et tu fais ça pour chaque x de R+)

pour la convergence uniforme, tu travailles "globalement": si tu coinces la courbe de la fonction limite dans un tube d'épaisseur choisie, à partir d'un moment les courbes des fonctions fn sont coincés dans ce tube

Donc tu as bien sur que si la convergence est uniforme alors la convergence est simple mais pas la réciproque.

En terme de définitions classiques;"quelquessoit x dans X, quelquesoit epsilon, il existe N ...." c'est la convergence simple le N dépend de ton x et de ton seuil epsilon

et "quelquesoit epsilon,il existe N tel que ..." le N ne dépend que de ton seuil epsilon et il est valable pour tout x de X, c'est la convergence uniforme