Convergence uniforme pour une fonction convergente

[Ririyeman]

Bonsoir je bloque sur cette question j'aimerais quelques pistes

Soit f :R+->R et convergente et continue

f convergente , on apelle L sa limite , donc pour tout E >0 il existe x0>0 tq pour tout x >= x0 on a |f(x)- L|< E
On en déduit que |f(x)-f(y)|< E pour tout x, y > x0
On a donc f uniformément continue pour [x0,inf[
Et par théorème , f sur[0;x0] est uniformément continue car elle est continue sur un compact

Mais maintenant je bloque sur le cas ou x<x0<y vous pourriez me donner une piste ?

Merci

[LB2]

Bonjour,

quelle est la question?
Je n'ai rien compris à ce que tu as écris, si ce n'est que tu t'es mal exprimé

[Ririyeman]

Bonsoir , j'ai montré que f est uniformément continue pour tout x , y appartenant a [0;x0] , de meme pour [x0,inf[
mais maintenant il me manque plus que le cas ou x appartient a [0,x0] , et y appartient a [x0;inf[ ,j'aimerais bien avoir une piste sur comment résoudre ça

Merci

[LB2]

quelle est la définition de f continue?
quelle est la définition de f uniformément continue?

[GaBuZoMeu]

Ta démarche est bonne, mais avec des maladresses. Par exemple, n'écris pas "f est uniformément continue pour tout x , y appartenant à ...", ça n'a pas de sens. Aussi, si on sait que pour tout , on peut seulement en déduire que pour tous , .

Essaie de reprendre les choses plus précisément. Tu te donnes un . Tu choisis un tel que pour tous , (il faut pour cela modifier un peu ton argument). Ensuite tu peux utiliser la continuité uniforme de sur pour trouver un tel que ....
Reste effectivement à régler le cas . Pour cela, tu peux utiliser la continuité de en . Je te laisse voir.

PS. Attention aussi, ne te mélange pas les pinceaux entre convergence uniforme et continuité uniforme (corrige ton titre).

[Ririyeman]

àMerci de ta réponse déja
Apres dire |f(x)-f(y)|<2E je pense que ça reste correct comme c'est pour tout E , si vraiment ça gène on prend |f(x)-L|<E/2 mais bon

Pour la continuité uniforme sur [0,x0] j'ai pas déterminer particulier "êta" particulier j'ai juste dis que par theoreme une fonction continue sur un compacte est uniformement continue .

Pour le cas ou je bloque j'ai pensé a dire que |x-x0|<|x-y|<eta mais est ce que cela implique que |f(x)-f(x0)|<|f(x)-f(y)|<E ??

Par exemple si on prend le cas d'une fonction croissante puis décroissante et on a x<x0<y on peut avoir que |f(x)-f(x0)|>|f(x)-f(y)| mais d'un autre coté on travaille sur des intervalles très petits donc je ne sais pas si ce que j'ai dit en haut est juste /

[Kolis]

Je finis par comprendre (ce n'était pas facile !) que tu veux montrer que si est continue sur et a une limite finie en alors elle est uniformément continue.

Tu disposes de deux relations :
... l'une au voisinage de l'infini où tu écris qu'il existe tel que
... l'autre où tu veux utiliser la continuité uniforme sur un compact.

L'astuce pour réussir la fin de la démonstration consiste à prendre un "intervalle de sécurité" où les deux relations sont vraies en même temps.
Par exemple, écrire la continuité uniforme sur où tu disposes d'un certain .

Pour finir tu prends et tu considères vérifiant .
Puis tu considère les cas :
... et du coup et tu peux majorer (grâce à la continuité uniforme sur
... et tu peux AUSSI majorer la valeur absolue en utilisant la propriété de limite en

[Ririyeman]

Merci je pense avoir compris une partie ( l'intervalle de sécurité ) mais je ne comprends a quoi correspond "alpha" et pourquoi c'est le min de "eta" ; 1 /
La pour le coup j'ai essayé d'y reflechir mais je vois vraiment pas en quoi tout ça consiste

[LB2]

Je finis par comprendre (ce n'était pas facile !) que tu veux montrer que si est continue sur et a une limite finie en alors elle est uniformément continue.

C'était ce que je voulais faire dire à l'intéressé, qui n'a jamais formulé entièrement la question

[Kolis]

Pour le choix de c'est pourtant simple :
Tu as un qui va bien sur le segment
Mais il t'en faut un qui fasse mieux pour que l'écart entre assure de rester dans l'intervalle de chevauchement !
Donc quelque chose plus petit que et aussi plus petit que : ce est anecdotique, tout réel strictement positif ferait l'affaire.

[Ririyeman]

Vous me dites si j ai bien compris parce que j en ai pas l air ..
L intervalle de chevauchement c est bien I= [x0;x0+1] ?
Donc on a bien pour x y appartenant à I : |x-y|<1
Mais si x n appartient pas à cette intervalle de chevauchement donc si x<x0 et y > x0 on peut prendre y bornée par x0 et x0+1 et là on peut dire que [0;x0] est un intervalle compact donc pour |x-y|<eta ==> |f(x)-f(y)|<E
Donc on réunie les 2 cas et on prend le min pour que ça soit toujours vrai si j ai bien saisi c est ça ?

[Ririyeman]

àMerci de ta réponse déja
Apres dire |f(x)-f(y)|<2E je pense que ça reste correct comme c'est pour tout E , si vraiment ça gène on prend |f(x)-L|<E/2 mais bon

Pour la continuité uniforme sur [0,x0] j'ai pas déterminer particulier "êta" particulier j'ai juste dis que par theoreme une fonction continue sur un compacte est uniformement continue .

Pour le cas ou je bloque j'ai pensé a dire que |x-x0|<|x-y|<eta mais est ce que cela implique que |f(x)-f(x0)|<|f(x)-f(y)|<E ??

Par exemple si on prend le cas d'une fonction croissante puis décroissante et on a x<x0<y on peut avoir que |f(x)-f(x0)|>|f(x)-f(y)| mais d'un autre coté on travaille sur des intervalles très petits donc je ne sais pas si ce que j'ai dit en haut est juste /

Et est ce qu on peut me dire si cette méthode valable svp ?

[Kolis]

Ton message de 11:28 ne répond pas à la question de "continuité uniforme".
Tu ne peux pas jouer à borner au gré de la position de : il faut absolument trouver une borne intéressante pour PUIS l'utiliser selon la position de .

[Ririyeman]

D accord d accord et ducoup ce que j ai marqué juste au dessus c est bien ce que tu me dis , c est l idée ?