Convergence uniforme intégrale

[marion1560]

Bonsoir,
j'essaie de voir si l’intégrale converge uniformément sur

puisque ça semble pas converger normalement je vois pas comment faire.
pouvez vous me donnez un petit indice?

[ev85]

Bonsoir,
j'essaie de voir si l’intégrale converge uniformément sur

puisque ça semble pas converger normalement je vois pas comment faire.
pouvez vous me donnez un petit indice?

Bonjour Manon.

Tu n'as pas accès à une primitive de ta fonction à intégrer ?

[marion1560]

merci pour votre réponse.

Bonjour Manon.

Tu n'as pas accès à une primitive de ta fonction à intégrer ?

non en faite à l'origine j'essaie de voir si la fonction qui à x dans ]0;+infini[ associe est continument dérivable

[girdav]

Si tu veux juste voir que la fonction est dérivable sur , il faut montrer qu'elle l'est en tout point de cet intervalle. En particulier, tu peux monter qu'elle est dérivable sur pour tout grâce au théorème de la convergence dominée.

[marion1560]

Si tu veux juste voir que la fonction est dérivable sur , il faut montrer qu'elle l'est en tout point de cet intervalle. En particulier, tu peux monter qu'elle est dérivable sur pour tout grâce au théorème de la convergence dominée.

en faite mon problème est justement en 0(si on essaie de prendre x=0, arctan(xt)/(1+t²) est equivalent en l'infini a PI/2t et diverge):
sur x>0 :

ce qui implique la convergence uniforme sur x>0 mais pas sur et j'en ai besoin pour montrer que c'est continument dérivable.

[girdav]

Je ne comprends pas, tu as réussi à majorer par une fonction intégrable qui ne dépend pas de , à savoir .

[marion1560]

Je ne comprends pas, tu as réussi à majorer par une fonction intégrable qui ne dépend pas de , à savoir .

oui mais la majoration est vrai sur pour strictement plus grand que 0 et pas sur qui est l’intervalle voulu.
en faite je suis pas certain que si ça converge uniformément sur pour alors ça converge uniformément sur

[girdav]

oui mais la majoration est vrai sur pour strictement plus grand que 0 et pas sur qui est l’intervalle voulu.

Ça montre que c'est dérivable dans un voisinage de tout , donc pas de problème.

en faite je suis pas certain que si ça converge uniformément sur pour alors ça converge uniformément sur

Effectivement, mais on n'a pas besoin de ça.

[ev85]

je suis pas certain que si ça converge uniformément sur pour alors ça converge uniformément sur

Tu fais bien de te méfier, car c'est faux !
converge vers 0 sur mais pas sur

[Maxmau]

oui mais la majoration est vrai sur pour strictement plus grand que 0 et pas sur qui est l’intervalle voulu.
en faite je suis pas certain que si ça converge uniformément sur pour alors ça converge uniformément sur

Bj
Si ça converge uniformément sur [x0, +infini[ pour tout x0 > 0, ça n’implique pas la convergence uniforme sur ]0, +infini[.
Par contre si une fonction est C1 sur [x0, +infini[ pour tout x0>0, ça entraine qu’elle est C1 sur ]0, +infini[.

Ton intégrale converge uniformément sur [x0, +infini[ pour tout x0 > 0 mais ne converge pas uniformément sur ]0, +infini[.

Voici comment on peut le montrer:
f(x,t) = t/((1+t²)(1+t²x²)) (ta fonction)
F(x,u) = intégrale de 0 à u de f(x,t)dt
I(x) = intégrale de 0 à +infini de f(x,t)dt (cad ton intégrale)
1/ F(x,u) tend vers I(x) pour u tendant vers +infini
2/ Lorsque x tend vers zéro, F(x,u) tend vers une limite finie J(u)
Si dans 1/ la convergence est uniforme par rapport à x > 0, le critère de Cauchy implique que J(u) admet une limite finie pour u tendant vers +infini. Ce qui n’est pas le cas.

[marion1560]

Bj
Par contre si une fonction est C1 sur [x0, +infini[ pour tout x0>0, ça entraine qu’elle est C1 sur ]0, +infini[.

Ton intégrale converge uniformément sur [x0, +infini[

donc,puisque converge uniformément sur , est C1 pour x0>0
donc est C1 sur malgré que ne converge pas uniformément?

du coup on peut pas dire que la dérivée par rapport à x de soit ?

[Maxmau]

donc,puisque converge uniformément sur , est C1 pour x0>0
donc est C1 sur malgré que ne converge pas uniformément?

du coup on peut pas dire que la dérivée par rapport à x de soit ?

mais si !
Tu appliques ton théorème de dérivation sous le signe somme pour x dans [x0 , +infini[
tu peux donc dériver sous le signe somme pour x >x0
mais comme cela est vrai pour tout x0 > 0, tu peux dériver sous le signe somme pour tout x >0
parce que tout x>0 est dans un intervalle [x0 , +infini[ en prenant x0 assez petit.

Remarque: comme girdav te l'a signalé, il existe un théorème de dérivation sous le signe somme issu du th de convergence dominée. Ce théorème est souvent plus simple d'utilisation que celui utilisant la CU.

[marion1560]

ok je pense avoir compris.
merci beaucoup a vous tous pour avoir consacré un peu de votre temps à mon problème. :we: