Convergence uniforme de deux suites..

par **d0n** » 30 Oct 2007, 17:15

Bonjour !
Je bloque sur un exo d'analyse, si vous pouviez m'aider svp..
J'ai deux suites de fonctions Un et Vn définies par :
U0 (x) = x Un+1 (x) = 2*sqrt(Un(x)) / (1 + Un(x)) et
V0 = 1 Vn+1 = Vn*(1+Un)/2
J'ai montré que les 2 suites Vn et Un*Vn sont adjacentes, elles tendent donc vers une même limite, que l'énoncé appelle f(x).
Je dois ensuite montrer la convergence uniforme de ces deux suites vers f, sur tout segment de ]0;+oo[
Si ca vous intéresse, je sais de Un qu'elle vérifie 0 <= Un <= 1 ,qu'elle est croissante et qu'elle converge uniformément vers la fonction constante = 1.
Merci de bien vouloir m'aider ! :lol5: :++:

par **klevia** » 30 Oct 2007, 17:35

Juste une remarque, es-tu sur que Un(x) est croissante ?

par **klevia** » 30 Oct 2007, 17:48

Euh, je crois que c'est bon, elle est croissante au pire, à partir du rang 2 me semble-t-il

par **klevia** » 30 Oct 2007, 17:55

il faut montrer la CVU sur tout intervalle fermé de ]0,+oo[ ?

par **d0n** » 30 Oct 2007, 18:51

Bonsoir,
Pour la croissance, c'est en effet à partir d'un certain rang. Désolé pour l'omission ! La convergence uniforme est en effet à montrer "sur tout segment de ]0,+oo[. Je cherche encore !

par **klevia** » 30 Oct 2007, 20:40

J'ai peut etre réussi a montrer que Un CVU sur [a,b] inclus dans ]0, +oo[.
Dis moi si j'ai fait faux.

1) Pour tous w appartenant ]0,1]
la suite Hn définie par H1=w
et Hn+1=2sqr(Hn)/(1+Hn) CV vers 1 (c'est la CVS de Un(x) )

2) Soit [a,b] inclus dans ]0, +oo[

pour tous x appartenant à [a,b], U1(x)<= 1

Je pose alors H1 = min(f(a),f(b)) , H1 appartient à ]0,1]
on a H1
on a donc que pour tout x appartenant [a,b], pour tout n,
|Un(x)-1|<=|Hn-1| qui tend vers 0

d'où il y a CVU sur de Un sur [a,b]

Je crois que c'est bon ... Dis moi ce que tu en penses.

Je commence à chercher pour pour Vn.

par **d0n** » 30 Oct 2007, 20:50

Merci de ta réponse !
Ce que tu as fait me semble juste oui ! Mais j'ai déjà établi la CV uniforme de Un ( qui est vers 1 au passage)
C'est la CV uniforme des suites Vn et Un*Vn vers leur limite f que je dois montrer. Penses tu que si Un CV uniformément vers f et que Vn aussi, alors Un*Vn cV uniformément vers f aussi ?
Merci en tout cas de ton aide !

par **klevia** » 30 Oct 2007, 20:59

je dirais plutot que UN*VN converge uniformement vers f² mais bon j'en suis vraiment pas sur ... ( ici f²=f=la foction constante égale à 1) )

par **d0n** » 30 Oct 2007, 21:02

Je continue à me creuser la tête pour voir si j'arrive à cette conclusion !
A mon avis il doit falloir suffir de montrer la convergence uniforme de Vn, on en déduit celle de Un*Vn vu que Un CV uniformément vers 1. On doit pouvoir appliquer la composée de limite après je pense..
J'cherche pour Vn !

par **klevia** » 30 Oct 2007, 22:04

As-tu trouvé vers quoi convergeait Vn ?

Je croyais que c'était vers la fonction constante égale à 1 mais je crois que pas du tout !!!

par **d0n** » 30 Oct 2007, 22:12

Ben le problème c'est que l'énoncé pose "f" la limite de Vn, sans en préciser davantage. Il doit y avoir une astuce pour majorer |Vn(x) - f(x)| par quelquechose qui tend vers 0, mais qui ne doit plus dépendre de x.. Ca simplifie vraiment pas la tâche ! A mon avis, il ne faut pas connaitre explicitement f. J'arrive à montrer que |Vn(x) - f(x)| <= |1 - f(x)|, mais je vois pas à quoi ca pourrait servir.. :dodo:

par **d0n** » 30 Oct 2007, 22:19

par **klevia** » 30 Oct 2007, 22:28

oui ca me parait bancal...
ce qui est sur c'est que une des deux CVU alors l'autre aussi...
je crois que tu as grugé sur un ssi dans ton explication de tout à l'heure ...

par **d0n** » 30 Oct 2007, 22:34

Je crois aussi oui..
Faut juste prouver la CVU d'une des 2 oui.. Ca parait simple comme ça :ptdr:
Je retourne chauffer mon cerveau.. :marteau:
Il doit quand même falloir raisonner sur le terme Vn - UnVn, vu que les deux suites sont adjacentes.. Faire un truc du genre (Vn - f) -(UnVn -f) ...

par **klevia** » 30 Oct 2007, 22:43

est-ce qu'on te dit si f est continue ?

par **d0n** » 30 Oct 2007, 22:44

On me demande de le déduire de la question qu'on cherche. Ca vient juste après..

par **klevia** » 30 Oct 2007, 22:46

mince.... dommage ...

par **d0n** » 30 Oct 2007, 22:48

Ca aurait pu aider oui..
Je crois que je vais passer la question, que j'y reviendrai demain quand j'aurai les idées plus claires. Je vais continuer un peu mon DM.
Merci d'avoir consacré autant de temps à la question !

par **klevia** » 30 Oct 2007, 23:00

j'y suis presque... je continue ...
je te tiendrai au courant !!

par **d0n** » 30 Oct 2007, 23:04

Merci pour ta persévérance !
Bonne nuit ;-)
P.S. : Si tu t'ennuies j'en ai encore un gros morceau après :ptdr:
Merci encore !

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