Convergence d'une suite récurrente

[nadia]

Bonjour,
je n'ai pas su aborder les deux autres cas pour étudier la convergence de cette suite:
u_0= a où a est un réel positif
u_(n+1)=racine (u_(n))+(1/(n+1))
j'ai juste montré que si a est strictement supérieur à b² avec b le nombre d'or, alors la suite est convergente, car décroissante et minorée par 0 .
pourriez-vous m'aider à continuer.
Merci d'avance.

[GaBuZoMeu]

Je pense que tu as vu que si (où est le nombre d'or), alors pour tout entier on a .

[nadia]

si a= phi² , alors la suite (u_n) est majorée par a, oui j'ai vu ceci mais je n'ai pas su à quoi cela va me servir

[GaBuZoMeu]

Je voulais écrire "si ". J'ai corrigé.

[nadia]

oui , tout à fait je vois clairement ceci par recurrence .

[GaBuZoMeu]

Bon, c'est sans doute un peu mince et finalement pas très utile comme indication.

Fixons un . Objectif : montrer qu'à partir d'un certain rang la suite est dans et y reste.
Première étape : montrer qu'il y a un entier tel que pour tout , si la suite est dans au rang , alors elle n'en sort plus jamais.

[nadia]

je ne vois toujours pas comment, il est clair que si la suite est convergente, alors sa limite est soit 0 soit 1. est ce que je dois comprendre que la limite de la suite est forcément 1?

[Ben314]

Salut
De toute façon, il est clair (par récurrence) que pour tout autre que 0 donc ta suite ne risque pas de tendre vers 0.
Ensuite, pour montrer qu'elle tend vers 1, perso, j'aurais tendance à partir de l'hypothèse qu'il existe un et un tel que et en déduire une contradiction (en montrant que dans ce cas la suite est décroissante à partir d'un certain rang).
Je pense que c'est plus ou moins ça que GaBuZoMeu t'incitait à faire.

[nadia]

Salut,
je vois que la limite ne peut être que 1, mais je n'arrive pas encore à voir comment obtenir que la suite serait décroissante pour avoir une contradiction.
j'ai besoin d'une autre indication s'il vous plait.
merci .

[GaBuZoMeu]

Je ne chercherais pas à montrer que la suite est décroissante.
Ben a fait remarquer qu'on a pour tout .
Je renouvelle mon indication, en ajoutant une couche.
Soit . Il existe un entier naturel tel que, pour tout :
- si , alors ,
- si , alors .

Coup de pouce :

[nadia]

h/2 bien sûr
je vais encore réfléchir. merci bcp.

[nadia]

pardon, tout ce qui me reste, c'est montrer que si u_n est supérieur ou égal à epsilon, alors u_(n+1) est inférieur ou égal à u_(n), je ne vois pas comment, et pourquoi ceci amène à une contradiction, sinon le reste je l'ai compris.
pardon pour les dérangements.

[GaBuZoMeu]

"si u_n est supérieur ou égal à epsilon"
, plutôt

[nadia]

oui je voulais dire 1+ epsilon

[nadia]

Rebonjour, j'ai pu terminer mon raisonnement du début dans le cas où a est inférieur ou égal à phi² grâce à l'indication: racine(1+h) est inférieur à h/2, où j'ai montré que la suite est majorée par 1+phi.
ceci m'a permis de montrer que : soit la suite est croissante, et puisque majorée, elle est convergente, soit qu'elle est décroissante à partir d'un certain rang, et puisque minorée par 1, elle est convergente.
donc dans tous les cas elle est convergente.
RQ: je me suis basée sur: u(n+1)-u(n)= racine(u(n))-racine(u(n-1))-1/(n(n+1))
est ce que mon raisonnement est correct?.
Merci d'avance.

[GaBuZoMeu]

"racine(1+h) est inférieur à h/2"
Fais attention à ce que tu écris !

Sinon, ton raisonnement se tient.

Avec mon indication :
Soit . On prend tel que . Alors pour tout :
- si , alors ,
- si , alors .

Donc
- ou bien la suite est dans à partir d'un certain rang,
- ou bien elle est décroissante et minorée par à partir du rang , mais ceci est impossible car la limite de la suite ne peut être que 1 ou 0.

[nadia]

pardon, je voulais écrire 1+(h/2), c'est une erreur d'inattention.
j'ai aussi compris votre explication, je vous en remercie beaucoup.