Convergence d'une série de terme général Un

[Marauder]

Bonjour !

Je suis actuellement entrain de résoudre un exercice qui consiste à déterminer la convergence ou la divergence de la série Un = avec n > 1.

Pour cela, la correction de mon professeur indique qu'il faut faire le développement limité de ln, ce que je fais, et c'est là où j'ai un problème.
En effet, si je fais le développement limité jusqu'à l'ordre 1, j'aurais Un = = n-n = 0
Mais si je le fais à l'ordre 2, j'aurais Un = = -1/2

Dans le cas à l'ordre 1, lim Un quand n -> +00 = 0 donc Un converge, mais dans le cas à l'ordre 2, Lim Un quand n->+00 = -1/2 =/= 0 et donc Un diverge.
Je ne comprend pas à quel résultat je dois me fier, et en général, jusqu'à quel ordre il faut aller pour avoir le "bon résultat".

En espérant que quelqu'un puisse m'éclairer
Merci de m'avoir lu

[tournesol]

L'éclairage est immédiat :
Donc ton DL est : 0 + o(n) , ce qui ne te donne aucune info .
Avec l'ordre supérieur , tu obtiens la divergence.
En fait on a le DL
Ce qui donne le Dl : 0 + O(1) , ce qui ne te donne encore aucune info .

[mathelot]

bonjour,


d'où


La série est donc grossièrement divergente car son terme général ne tend pas vers zéro.

hint: on développe jusqu'à obtenir le terme d'une série absolument convergente.

[tournesol]

Pas dans ce cas : Un est équivalent à -1/2 , donc Un est de signe constant à partir d'un certain rang et donc Un diverge grossièrement .

[tournesol]

Par contre mathelot , ton DL donne le développement asymptotique de Sn :