Convergence d'une série de nombres complexes

[ArtyB]

Bonjour,

Comment résoudre les deux questions suivantes?

Soit avec K un compact de D(0,1).
On a

1. Démontrer que:


2. Puis que converge normalement sur D(0,1) avec suite de nombres complexes convergente.

Où j'en suis pour le moment:
1. On a
mais ensuite je ne sais pas comment montrer la majoration.

2. On utilise la question précédente et en notant on a:
?
Cela ne me semble pas juste car la somme d'un produit est différente du produit des sommes...

[Elias]

Salut,

Déjà, si D(0,1) désigne bien le disque ouvert, on a plutôt r < 1 (inégalité stricte).

1) soit z dans K.
Alors :


On a:

Puis :
car

Et comme , on a

D'où

D'où le résultat.


2. D'après ce qui précède et avec tes notations :
car


Je comprends pas ton histoire de somme de produit sinon :

pour tout z dans K, on a :


Donc c'est valable en prenant le

Sinon, c'est bien (a_n) qui est convergente par hypothèse ? (et pas ?)

Sinon, il suffit de supposer (a_n) bornée pour que ça marche du coup...