Convergence d'une intégrale généralisée

[Marcet003]

Bonjour,

Soit l'intégrale généralisée suivante avec



On remarque par calcul que l'intégrale converge vers .
On remarque aussi que la limite suivante existe.



Est-ce qu'il y a équivalence entre le fait que l'intégrale converge et le fait que l'intégrande soit continue pour
, c'est-à-dire que ?

[phyelec]

Bonjour,

Sauf erreur de ma part, pour être intégrable sur un intervalle I,une fonction doit être continue sur cet intervalle. Après l’intégrale converge ou pas.

exemple :



l'intégrande est continue sur l'intervalle d'intégration mais l' intégrale est divergente (sans limite).

[Ben314]

Salut,
Non, il n'y a pas du tout équivalence :
- Si l'intégrale généralisée est divergente bien que .
- Si pour tout entier on prend ; et affines entre ces points, alors l'intégrale généralisée est convergente alors que n'existe pas (la fonction est continue, mais elle est non bornée).

Le seul résultat qui me vient à l'esprit sur ce thème là, c'est que, si la limite existe et qu'elle est non nulle alors l'intégrale généralisée est forcément divergente.

P.S. @phyelec : même dans la théorie la plus basique de l'intégration (à savoir la théorie de Riemann sur un intervalle fermé bornée), une fonction n'a pas besoin d'être continue pour être intégrable. La "base" des fonctions intégrable (dans la théorie de Riemann), c'est les fonctions en escalier et ces dernières ne sont pas continues. Ce qui est vrai, c'est qu'une fonction continue (sur un intervalle fermé borné) est forcément Riemann-intégrable.

[phyelec]

@Ben314. Merci pour vos précisions très claires. Si je comprends bien, il faut que la fonction soit continue par morceau ( pour Riemann). Dois-je conclure que toutes les fonctions sont potentiellement intégrable?

[Marcet003]

Merci pour vos deux réponses. Je n'avais pas pensé à prendre des exemples comme ceux là et surtout celui des triangles glissants.

[tournesol]

Bonsoir phyelec
f est intégrable Riemann sur [a,b] ssi f est bornée , et continue presque partout sur [a,b]
c'est à dire continue sur [a,b] sauf éventuellement en les points d'un ensemble négligéable(mesure de Lebesgue nulle)
Donc continue par morceaux n'est pas nécessaire.

[hdci]

Bonsoir,
tournesol, as-tu un exemple de fonction Riemann-intégrable qui ne soit pas continue par morceaux mais continue presque partout ?
(Je vois bien le cas d'une fonction non continue par morceaux et Lebesgue-intégrable, cf. l'indicatrice de Q, mais je ne vois pas le cas "continue presque partout mais pas par morceaux")

[Ben314]

tournesol, as-tu un exemple de fonction Riemann-intégrable qui ne soit pas continue par morceaux mais continue presque partout ?

La définition usuelle de "continue par morceaux", c'est qu'il y a une subdivision finie telle que f soit continue sur chaque intervalle ouvert de la subdivision.
Et avec cette définition là, la fonction indicatrice de l'ensemble triadique de Cantor n'est pas continue par morceaux alors qu'elle est Riemann-intégrable (d'intégrale nulle) et continue presque partout (elle est continue en tout point autre que ceux de l'ensemble de Cantor).

[phyelec]

Merci Tournesol pour votre réponse. Et merci à vous aussi Ben314. Je vais reprendre mes lectures sur ce sujet et vos éclaircissement vont me permettre, je l'espère d'aller plus loin dans la compréhension de ce que je lis. Cordialement phyelec.

[hdci]

Merci Ben314, effectivement je vois bien le truc pour l'ensemble triadique de Cantor !