Convergence Lp // Topologie

par **e2_68** » 06 Juin 2010, 15:41

Bonjour à tous,

Une suite de fonctions (fn) de R dans R peut-elle converger vers une certaine fonction f au sens L1 et vers une autre fonction g, au sens L2 ?
(avec f et g "vraiment" différents, c-à-d que {x | f(x) différent de g(x)} a une mesure de Lebesgue non nulle.)

Les distances L1 , L2, ..., Lp sont-elles topologiquement équivalentes ?

Plus généralement, dans un espace muni de plusieurs distances, une suite peut-elle converger vers deux limites différentes selon la distance choisie ?

par **Nightmare** » 06 Juin 2010, 15:54

Salut !

Tu as surement vu un théorème qui dit que si (fn) converge vers f au sens Lp (p >=1), alors il existe une sous-suite

qui converge simplement presque partout vers f. Tu en conclus que tes deux limites f et g sont égales presque partout.

par **e2_68** » 06 Juin 2010, 16:03

Effectivement, ce théorème existe.
Mais on pourrait imaginer que (fn) ne converge pas simplement presque partout.

Alors f(phi(n)) et f(psi(n)) (les suites-extraites qui convergent respectivement simplement p.p. vers f et g) peuvent avoir des limites différentes, non ?
(De la même manière que la suite (-1)^n admet une suite extraite qui tend vers 1 et une autre vers -1)

par **Nightmare** » 06 Juin 2010, 16:13

Vu que (fn) converge au sens L2 vers g, il en va de même pour f(phi(n)) ...

par **e2_68** » 06 Juin 2010, 16:18

Bien vu.
Et pour la généralisation, t'as une idée ?

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