Convergence

[Maverick]

Bonjour à tous, je dois dans un exo montrer que ln(n+1)/(2^n) convergence vers 0. je vois pas comment le démontrer.

[albantor30]

Et bien, tu sais que la suite converge si la fonction qui lui est associée converge, c'est à dire si la limite quand x tend vers l'infini existe. Tu calcules donc cette limite :

En appliquant le théorème de l'Hospital, cela devient :

Et voila, le tour est joué !

[charif]

bj :

votre equivalence est vague.............
la suite canstante 1 est convergente mais la fonction associé qui est 1 ne tend pas vers 0 l'orsque x tend vers l'infini!!!!!!

[albantor30]

Oui, pardon, je me suis mal exprimé en allant un peu vite. Je voulais dire que la fonction doit simplement converger à l'infini elle aussi (c'est à dire que la limite doit exister), et que dans ce cas-ci, elle converge vers 0. Et ce n'est pas une équivalence, par exemple, la suite converge, mais pas cos(x).

Merci de l'avoir noté, c'est réparé

[Joker62]

cos(pi^(2k)) converge
cos(x) ne converge pas

[albantor30]

Euh, non cos ( pi^2k ) ne converge pas ;)

[Joker62]

Je voulais dire cos(2k.pi) désolé :)

[albantor30]

On parle tous trop vite ;)

[Joker62]

Et tant qu'à faire, il manque l'hypothèse que la fonction soit continue.

ça vient du fait que :

f continue <=> Pour toute suite x_n convergeant vers x on a f(x_n) qui converge vers f(x)

[albantor30]

Je pense qu'on n'a même pas besoin de la continuité. Parce qu'ici, on ne fait pas de parallèle entre ak et f(ak) mais bien entre ak et f(k). Et donc, si la fonction converge à l'infini, la suite ak = f(k) aussi.