Convergence de Un et e

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
Léa314159
Membre Naturel
Messages: 12
Enregistré le: 26 Oct 2021, 14:33

Convergence de Un et e

par Léa314159 » 26 Oct 2021, 14:53

Bonjour à tous,
C'est la première fois que je me rends sur un forum. Récemment, j'ai rencontré une difficulté dans un DL de mathématiques. Je vous transmets l'énoncé :

(**) quelque soit n appartenant à N*, (1+1/n)^n <= e <= (1+1/n)^(n+1)
On pose Un= (1+1/n)^n
1- Montrer que (1+1/n)^(n+1)-Un = Un x 1/n ça j'ai réussi mais je ne vois pas l'intérêt de la question pour la suite de l'exercice.
2- A l'aide de (**), montrer que Un<= 3 puis que 0<=e-Un<=3/n c'est cette question qui me bloque!! Evidemment, on peut facilement montrer cette inégalité en prenant une valeur approchée de e, mais je ne pense pas que ce soit le but de l'exercice... Malheureusement, après deux jours de recherches, je n'ai rien trouvé d'autre...
3- En déduire que lim Un = e Là aussi, je pense avoir trouvé, mais je doute de ma justification...

Voilà, j'espère avoir été lisible, et je remercie d'avance tous ceux qui daigneront m'apporter leur aide!! Je vérifierai une fois par jour ce forum pendant toutes les vacances, afin de pouvoir répondre rapidement et pouvoir interagir plus facilement.

Merci, dans l'attente de vos réponses



phyelec
Membre Rationnel
Messages: 672
Enregistré le: 06 Mar 2020, 18:47

Re: Convergence de Un et e

par phyelec » 26 Oct 2021, 17:50

Bonjour,

Que vaut Un?
est-ce Un= (1+1/n)^n ?

Léa314159
Membre Naturel
Messages: 12
Enregistré le: 26 Oct 2021, 14:33

Re: Convergence de Un et e

par Léa314159 » 26 Oct 2021, 18:06

Oui c'est ça

Black Jack
Habitué(e)
Messages: 5169
Enregistré le: 31 Juil 2008, 11:17

Re: Convergence de Un et e

par Black Jack » 26 Oct 2021, 18:14

Bonjour,
2)

Un = (1+1/n)^n

par (**), on a (1+1/n)^n <= e et e <= 3 --> Un <= 3

et on sait aussi par (**) que : (1+1/n)^n <= e <= (1+1/n)^(n+1)

U(n) <= e <= (1+1/n)^(n+1)
0 <= e - U(n) <= (1+1/n)^(n+1) - U(n)

et par le point 1 --> 0 <= e - U(n) <= U(n) * 1/n
0 <= e - U(n) <= U(n)/n

et comme U(n) <= 3 --> 0 <= e - U(n) <= 3/n

8-)

Léa314159
Membre Naturel
Messages: 12
Enregistré le: 26 Oct 2021, 14:33

Re: Convergence de Un et e

par Léa314159 » 26 Oct 2021, 19:20

OK super!! Merci Black Jack!
J'avais peur qu'il y ait eu une autre méthode pour trouver Un<=3 (par le binôme de Newton ou ce genre de choses, par exemple). Mais si tu as utilisé une valeur approchée de e pour faire apparaître le 3... Alors c'est parfait! Encore merci!

 

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