Convergence de Un et e

[Léa314159]

Bonjour à tous,
C'est la première fois que je me rends sur un forum. Récemment, j'ai rencontré une difficulté dans un DL de mathématiques. Je vous transmets l'énoncé :

(**) quelque soit n appartenant à N*, (1+1/n)^n <= e <= (1+1/n)^(n+1)
On pose Un= (1+1/n)^n
1- Montrer que (1+1/n)^(n+1)-Un = Un x 1/n ça j'ai réussi mais je ne vois pas l'intérêt de la question pour la suite de l'exercice.
2- A l'aide de (**), montrer que Un<= 3 puis que 0<=e-Un<=3/n c'est cette question qui me bloque!! Evidemment, on peut facilement montrer cette inégalité en prenant une valeur approchée de e, mais je ne pense pas que ce soit le but de l'exercice... Malheureusement, après deux jours de recherches, je n'ai rien trouvé d'autre...
3- En déduire que lim Un = e Là aussi, je pense avoir trouvé, mais je doute de ma justification...

Voilà, j'espère avoir été lisible, et je remercie d'avance tous ceux qui daigneront m'apporter leur aide!! Je vérifierai une fois par jour ce forum pendant toutes les vacances, afin de pouvoir répondre rapidement et pouvoir interagir plus facilement.

Merci, dans l'attente de vos réponses

[phyelec]

Bonjour,

Que vaut Un?
est-ce Un= (1+1/n)^n ?

[Léa314159]

Oui c'est ça

[Black Jack]

Bonjour,
2)

Un = (1+1/n)^n

par (**), on a (1+1/n)^n <= e et e <= 3 --> Un <= 3

et on sait aussi par (**) que : (1+1/n)^n <= e <= (1+1/n)^(n+1)

U(n) <= e <= (1+1/n)^(n+1)
0 <= e - U(n) <= (1+1/n)^(n+1) - U(n)

et par le point 1 --> 0 <= e - U(n) <= U(n) * 1/n
0 <= e - U(n) <= U(n)/n

et comme U(n) <= 3 --> 0 <= e - U(n) <= 3/n

[Léa314159]

OK super!! Merci Black Jack!
J'avais peur qu'il y ait eu une autre méthode pour trouver Un<=3 (par le binôme de Newton ou ce genre de choses, par exemple). Mais si tu as utilisé une valeur approchée de e pour faire apparaître le 3... Alors c'est parfait! Encore merci!