Convergence

[lightone]

Bonjour, j'ai cet exercice 18 à faire et je bloque. Voici l'énoncé :
(désolé pour la qualité, j'ai fait au mieux).

Je pense qu'il faut utiliser le convergence monotone pour les séries et il faut que je montre d'abord que la fonction à l'intérieur de la somme soit croissante. J'ai commencé une récurrence pour le prouver mais je bloque. Pouvez vous m'aider? merci

[aviateur]

Bonjour ?
Là je n'ai pas de stylo donc de tête: as tu regardé un équivalent d du terme général?

[lightone]

J'y ai pensé mais je ne vois pas comment faire. Surtout qu'on doit faire les manœuvres en fonction de n. Ca me bloque.

[Pseuda]

Bonsoir,

On peut remarquer que : quand

[lightone]

Mais j'ai le droit de faire ça en sachant que moi, je travaille avec n qui tend vers l'infini?

[aviateur]

C'est deux choses différentes. Ici on s'occupe uniquement de la première première questions mais vraiment sans s'occuper de la deuxième.
Donc ta série converge pour tout n>0.
On désigne par la somme de la série.
La deuxième question concerne donc la limite de

[lightone]

Dans ce cas, ma fonction serait équivalente à 1/k^(1+(1/n)) et je pourrais terminer avec Riemann? Vu que ma puissance sera forcément strictement supérieure à 1.

[aviateur]

Yes, c'est la deuxième question qui est plus intéressante.

[Pseuda]

Mais j'ai le droit de faire ça en sachant que moi, je travaille avec n qui tend vers l'infini?

"n" ne tend pas vers l'infini, c'est un paramètre.

[lightone]

Aviateur, oui ba la deuxième question, c'est là que je dois utiliser cette fameuse propriété dont je parlais dans mon premier message

[aviateur]

Tu veux dire "la convergence monotone pour les séries" ? Disons que je fais ça à la main, c'est à dire que me passe de ce genre de truc. Mais si tu as vu ça en cours, est-ce que tu peux l'énoncer exactement pour que je te dise si c'est OK.

[lightone]

Soit (fn) ou n appartient à N une suite de fonctions définies sur un ensemble I et a valeur dans [0, infini].
On suppose que la suite (fn) est croissante, cad pour tout i et pour tout n appartenant à N, f(n+1)(i) >= fn(i)
Pour i appartenant à I, on pose f(i) = lim fn(i) quand n tend vers l'infini.

Alors la somme des f(i) où i appartient à I = lim de la somme de fn(i) où i appartient à I quand n tend vers l'infini

[aviateur]

D'accord c'est le théorème de Beppo Levi si je ne m'abuse?
Bon je pensais que c'était un exercice de Bac+1 ou 2.
Alors tu peux l'utiliser mais je te conseille de le formuler exactement et de bien expliquer pourquoi tu es exactement dans les hypothèses du th.
Sinon moi je fais comme les "enfants"
Grosso modo tu minores par quelque chose que tu sais maitriser:

tu as
Donc
Et tend vers l'infini (pour le voir tu minore la série

[lightone]

Donc la limite de ma série est + l'infini? Si oui, je ne comprend pas pourquoi dans le 1, on doit prouver qu'elle converge...

[aviateur]

Ta remarque est incompréhensible. Je me demande si tu as compris l'exo ?
Déjà tu dis "Donc la limite de ma série est + l'infini" . Mais que veux tu que je réponde à cela, ça veut dire quoi?

[lightone]

Et bien, c'est que je n'ai pas du le comprendre dans ce cas.