Convergence simple et uniforme d'une fonction récursive

[Ourfalli]

Bonjour,
Je travaille un exercice qui (m')est difficile et la correction que j'ai lue est incompréhensible.
Sur l'intervalle , il s'agit de la fonction avec les C.I. (condition initiale) .

En codant sur wxMaxima, j'ai trouvé des courbes qui indiqueraient une convergence uniforme par leur allure. Mais passer par la démonstration formelle, ça devient péniblement illogique.

Convergence simple :
pour une valeur fixée de x, il faut prouver que la fonction est bornée monotone sur I.
La solution commence par étudier la fonction qui est monotone croissante sur $I$ et atteint son maximum à t=1 avec .
On remarque aussi que si et inversement : .
Donc, puisque on a bien : . Mais, rien ne dit que soit supérieure à !
Inversement : . Pareil, rien ne dit que soit inférieure à .
On ne peux rien dire sur le comportement de et si on a une fonction monotone (croissante ou décroissante) ou si elle "oscille" autour de et si cette "oscillation" est décroissante.
Pis, tenter de prouver par récurrence l'emboîtement de la suite d'intervalles : avec mène à des calculs fastidieux qui ne donnent pas le moindre indice sur l'évolution des bornes de chaque intervalle.

Convergence uniforme :
Supposant que . La correction propose d'étudier la fonction qui atteint sur I son maximum en ce qui mène à l'inéquation . Puis, prouver par récurrence que (Comment "deviner" cette fonction ?!).

Prouvons ce que l'on peut prouver : l'inégalité par récurrence :
(hormis la valeur x=1)
Supposons-la vraie pour n, prouvons pour n+1 :


Reste le fameux terme : . Si on arrive à prouver que la démonstration est faite ainsi que celle de la convergence uniforme.
Problème :
Utiliser : , ne mène à rien.
Si l'on part du résultat voulu ceci équivaut : !!!

Bref, HELP !
Merci.

[Ben314]

Salut,
J'ai pas trop regardé ton truc (un peu confus et surtout, je préfère chercher moi même), mais un plan d'étude relativement simple c'est :
1) Poser et vérifier que .
2) Montrer (par récurrence) que
3) Déterminer la maximum de sur (dérivée et tableau de variation) et conclure.

Edit : et concernant ta prose, ça commence très mal dés le début vu que les fonctions ne sont pas croissantes. Ce qui est vrai, c'est que pour fixé, la suite numérique est croissante (ce qui n'a rien à voir avec la croissance des fonctions ).

[Ben314]

Et si tu tient à commencer par étudier la suite , pour fixé il faut bien sûr commencer par voir que ce qui signifie qu'il faut étudier le signe de . Or,

ce qui montre (par récurrence) que pour tout : la suite est croissante et majorée donc convergente vers et la formule de récurrence montre que donc .

[Ourfalli]

Salut,
Merci bien pour ta réponse. Là je comprends mieux comment résoudre ce problème, mais le sujet m'est relativement neuf et c'est la première fois où j'étudie les convergences d'une fonction récursive, d'où la difficulté.

A ce stade, je ne pouvais pas trouver comme majorant possible. Il semble qu'il y a des "majorants standard" à connaître.

C.S.
J'ai compris la première confusion (suite vs fonction).

De la dérivée : et sachant que . On peut prouver par récurrence que . Donc, est une fonction croissante sur I, .

En ce qui concerne la suite, pour x fixe, je reviens à la définition par récurrence : , l'évolution de la suite est déterminée par la valeur initiale. En général, si () alors la suite est croissante (décroissante) et majorée (minorée) par , donc CS.

Dans le cas de notre exercice, nous avons posé la C.I. : . Donc est majorant (et borne sup).

C.U.
On ne peut avoir que si , ce qui contredit le fait que soit majorant, d'où la 2e confusion.
Par contre, j'ai oublié que l'on s'intéresse à et donc :


Là ça va tout seul :


La récurrence et démontrée.

Merci à nouveau pour l'éclairage.

[Ben314]

Je sais pas ce que tu bricole, mais ça :

c'est n'importe quoi : donc qui est négatif !!!

[Ourfalli]

Oui, j'ai fait un très mauvais bricolage !

En tout cas, le souci c'était vraiment une erreur dans le corrigé du livre que j'étudie!
Le corrigé propose comme fonction encadrante puis laisse le lecteur prouver l'inéquation par récurrence.
Convaincu que le corrigé n'est pas erroné, ça explique tous les tournilles. Mais, il suffit de faire la calcul pour n=1, pour apercevoir le "bogue".

Là, je comprends mieux votre solution . C'est ce (1/2) qui fait toute la différence.

J'ai codé aussi un petit algorithme pour voir les courbes des et voir la ressemblance avec celle de . Là je comprends mieux d'où vient la fonction.

Je mets le code (wxMaxima) qui permet de voir la convergence uniforme ici pour info :

Code: Tout sélectionner

/*Fonctions*/
V(t,x) :=t+(x-t^2)/2;

f(n,x):=block(
    Rep:0,
    F[0]:0, /*C.I.*/
    for k : 0 thru n do (
        Rep:F[k],
        if not(k=n) then F[k+1]:V(F[k],x)
    ),
    return(expand(Rep))
)$

g(n,x):=sqrt(x)-f(n,x);
c:1/2;
D(n,x):=sqrt(x)*(1-c*sqrt(x))^n;

n:6;
wxplot2d([D(n,x),g(n,x)],[x,0,1],[color,red,black]);


Merci pour l'aide.