Convergence simple et uniforme

[etudiant55INSAT]

Si une SERIE DE fonctions converge uniformement vers f(x) alors cette serie converge t-elle simplement vers f(x).
(dans notre cours et exercices on cherche si la serie de focntion converge uniformement ou pas et on ne precise pas pas ou elle converge uniformement)

[hdci]

Bonjour (il vaut mieux commencer par là).

Attention à l'expression, est l'image de par la fonction , ce n'est pas une fonction. Tu voulais sûrement dire "si une série de fonction converge uniformément vers une fonction , alors elle converge simplement vers ".

Egalement, veux-tu dire "une suite de fonction", ou bien vraiment "une série de fonction" ? Les deux termes ont un sens quelque peu différent.

Pour la suite de fonction, la réponse est affirmative : si converge uniformément vers , cela s'écrit (en notant son ensemble de définition) :


Ce qui montre bien qu'il y a convergence simple pour tout , la convergence uniforme exprimant le fait que la "vitesse de convergence" est uniforme (le trouvé est le même pour tous les )

Dans le cas d'une série de fonctions, c'est la même chose car une série n'est autre que la suite formée des sommes partielles.

Dernier point : si tu es dans le cadre des espaces de fonctions définis par classe d'équivalence "presque partout", ce résultat n'est plus vrai, il l'est "presque partout" (c'est-à-dire, partout sauf sur un ensemble de mesure nulle).

[etudiant55INSAT]

merci pour votre reponse mais je veux dire une serie de fonction. serie avec terme fn(x).et oui je voulais dire convergence vers f je m'excuse.

[hdci]

Dire que "la série converge", c'est exactement dire que "la suite des sommes partielles converge".

Ce qui fait que ce que j'ai écrit pour la suite de fonctions vaut également pour la série :



Et la convergence uniforme implique bien la convergence simple de la série

[etudiant55INSAT]

merci pour votre temps

[hdci]

A ton service !