Convergence de série

[ArtyB]

Bonsoir,

J'ai un autre souci de convergence de série cette fois, si vous pouviez m'orienter s'il vous plaît.

Soit a un réel strictement positif, pour n>=1, on pose:
et

1.a. Quelle est la nature de la série suivant la valeur de a ?
1.b. Pour quelles valeurs de a la suite est elle bornée ?
2.Pour a>1, étudier la nature de la série
3. On prend 0<a<=1
3.a. Pour n>1, calculer
3.b. Donner un équivalent de quand n tend vers l'infini et étudier la nature de la série

1.a. Elle converge si a>1 et diverge si a<=1
1.b. La suite est décroissante et majorée par 1, il ne reste plus qu'à montrer qu'elle est minorée ce qui est le cas lorsque la série associée converge, ie si a>1
2. Je ne sais pas trop comment faire pour celle-ci, je me lance tout de même:
Soit f la fonction qui à t associe pour t>=1, f est décroissante et localement itnégrable.
On peut encadrer :
et en sommant les encadrements, on obtient l'encadrement de la suite des sommes partielles :

Et on donne un équivalent de s_n lorsque n tend vers l'infini:
-
-
Et on a l'équivalence:
~
S'ensuit:
et donc si a>1 la série de terme général
3.a. On distingue le cas a=1 et le cas 0<a<1:
si a=1, on a:
si 0<a<1, on a
3.b. et sont de même nature lorsque n tend vers l'infini et diverge si a<=1.
Donc pour 0<a<1, quand n tend vers l'infini:
~~
et pour a=1
~ln(n)
On en déduit que la série de terme général converge

[alm]

Pour la question 1.b, la question est posée à propos de la suite , je crois que tes réposes concernent , non ?
Pour une bonne réponse , essaye de voir une caractérisation spéciale de la convergence d'une série à termes positifs.

[ArtyB]

Merci de ta réponse alm.
Pour la 1.b. la question concerne bien la suite mais celle-ci est la suite des sommes partielles de , du coup si converge, alors est minorée, non ?

[zygomatique]

salut

ne vois-tu pas que les u_n sont positifs .... donc trivialement la suite (s_n) est minorée ... mais on s'en fout ...

la suite (s_n) est évidemment croissante ...

donc ..... ?

[ArtyB]

Oui pardon, c'est la suite des termes qui est décroissante mea culpa.
Si la suite associée est croissante, majorée, à termes positifs et donc minorée, donc elle est bornée ?

[Ben314]

Si la suite associée est croissante, majorée, à termes positifs et donc minorée, donc elle est bornée ?

oui, modulo de bien comprendre que là dedans, tout est complètement trivial (je sais même pas si c'est bien la peine d'en parler) sauf le "majorée"...

[alm]

Bonjour. Pour la question 2, tu dispose d un équivalent simple de s_n (n oublie pas que a>1) donc du terme général de ta serie

[ArtyB]

En effet la majoration ne coule plus de source du coup. Mais il doit bien y avoir un moyen de la montrer non ?
Si a>1 alors il y a un equivalent simple ? Je vois lequel il y a en a=1 mais pas en a>1

[Ben314]

De ça (valable pour tout a>0) tu déduit a peu prés tout ce que tu veut.

[alm]

Je vois lequel il y a en a=1 mais pas en a>1

Il est plus simple que tu ne le crois!
Indic: si une suite (s_n) converge vers une limite L non nulle, quel est l équivalent le plus simple de s_n?

[ArtyB]

Je dirais que lorsque une suite (s_n) converge vers une limite non nulle L en l'infini, alors on peut prendre L comme équivalent de (s_n) en l'infini ?

[ArtyB]

De ça (valable pour tout a>0) tu déduit a peu prés tout ce que tu veut.

Comment ça ?

[alm]

Je dirais que lorsque une suite (s_n) converge vers une limite non nulle L en l'infini, alors on peut prendre L comme équivalent de (s_n) en l'infini ?

Oui, puisque alors.
Ainsi tu possédes un équivalent simple du treme général de la série que propose la question 2) tout en haut (à savoir ) puisque la suite puisque et est la somme partielle de la série de Riemann

[ArtyB]

Merci de ta réponse.
On a un équivalent de oui.
Mais pour ce qui est de j'ai beau avoir mon cours avec moi etc je pense que je n'arrive pas à faire de lien logique ni rien.
Quand je regarde je vois que l'on a la série de terme général la somme partielle d'une série de riemann, multipliée par cette somme de riemann à la puissance 1/2. Mais je n'ai rien à me venir à l'esprit qui puisse me permettre de déduire quoi que ce soit.

[alm]

Comme , tu as la série est convergente, notons , alors pour (la somme partielle), on a .
Notons (pour bonne présentation), on a d'après les remarques ci-dessus:
Tu devrais maintenant pouvoir conclure puisque tu sais la nature de la série de terme général

[ArtyB]

Merci alm pour cette formulation très claire.
La série de terme général est convergente.
Donc ~ converge puisque S converge aussi.

[alm]

La série de terme général est convergente.

je n ai pas dit qu' elle converge mais que sa nature est connue. b c est a/2.