Convergence de série

[mathos92]

Bonjour,

Voila j'ai quelques questions à préparer, j'aimerais juste qu'on me dise si la méthode que j'utilise est correct et ainsi si mes réponses sont bonnes:
1. Etudier la convergence, suivant la valeur du paramètre a;)0 de la série de terme général:
Un = a^n(ln(n));)(2^n+1)
j'étudie le rapport Un+1/Un= aln(1+(1/n))(;)((2+(1/2^n))/1+(1/2^n)))
jétudie la limite du rapport ici = 0 <1 d'apres d'alembert la série Un converge

2.Etudier la convergence de la série de terme général:
Un=(n+3)/((n^2+1)(ln(n))^3/2)
(n+3)/(n^2+1);)1/n (en +oo)
d'ou Un;)(en +oo)Vn = 1/(n^2(ln(n))^3/2)
;)Vn converge d'apres les series de bertrand donc ;)Un converge aussi

3. Etudier la convergence de la série de terme général:
Un=ln(1+((-1)^n)/n))
j'ai étudié l'asolue convergence ;);)Un;)=;)ln(1+(1/n));)(en +oo) Vn=;)1/n
;)Vn converge donc ;);)Un;) converge donc ;)Un absokument convergente


Merci
Cordialement

[Ben314]

Salut,
1) Sans faire le moindre calcul, je subodore (si, si... :zen:) que la limite de ton truc va dépendre de la valeur a et ne fera pas 0 systématiquement (et même que, des fois, ça pourrait faire 1, cas dans lequel on ne peut pas conclure directement)

2) Erreur (peut-être de frappe ?) dans ton équivalent Vn qui vaut Vn = 1/(n(ln(n))^3/2)

3) ÉNORME erreur, la série Vn=;)1/n est le modèle même de la série divergente (les sommes partielles sont équivalentes à ln(n))
En plus, la rédaction ne va pas. Ca : ln(1+(1/n));)(en +oo) 1/n c'est pas clair du tout : c'est qui la variable qui tend vers l'infini là dedans ? Surement pas le n vu qu'à priori tu somme pour n=? à ?
Par contre, ce qui est clair, c'est que ln(1+(1/n));)(en +oo) 1/n

BILAN (provisoire) : la série Un n'est pas absolument C.V. mais... elle est peut être convergente quand même...

[zygomatique]

salut

1/

et l'exponentielle l'emporte sur n qui l'emporte sur ln(n) ...


3/ série alternée ....

[Ben314]

3/ série alternée ....

oui mais...

[mathos92]

Pour la 1. je n'ai pas compris ou était mon erreur oui c'est vrai que je m'attendais à un truc qui dépendait de a mais je ne sais pas ou je me suis planté.. :(

[Ben314]

1/

donc et

[BiancoAngelo]

Pour la 3 ème, pas besoin de critères vraiment.
Déjà le terme général est défini à partir de n = 2.
La série des Un est un somme de ln...
Donc le ln d'un produit.
Comme on a (-1)^n, on différencie sur la parité.
Et on trouve la limite en deux lignes.

[mathos92]

La série des Un est un somme de ln...
Donc le ln d'un produit.

Je ne comprends pas le fait que la série Un est le ln d'un produit...

[mathos92]

Et du coup pour la 2, oui j'ai du faire une erreur de frappe mais le raisonnement est le bon ? 3/2 >1 donc d'après Bertrand elle converge bien

[BiancoAngelo]

Et du coup pour la 2, oui j'ai du faire une erreur de frappe mais le raisonnement est le bon ? 3/2 >1 donc d'après Bertrand elle converge bien

ln(a) + ln (b) = ln (a *b), non ? si a et b sont positifs, bien sûr.

Du coup, Somme(ln(Vn)) = ln(Produit(Vn)), en posant Vn = 1 + (-1)^n/n.

Tu mets sur le même dénominateur...

Puis, avec n=2k et n = 2k+1...

[BiancoAngelo]

ln(a) + ln (b) = ln (a *b), non ? si a et b sont positifs, bien sûr.

Du coup, Somme(ln(Vn)) = ln(Produit(Vn)), en posant Vn = 1 + (-1)^n/n.

Tu mets sur le même dénominateur...

Puis, avec n=2k et n = 2k+1...

D'ailleurs il suffit de regarder ce que vaut ln(1+1/2) - ln(1-1/3), pareil pour ln (1+1/4) - ln (1-1/5)...

En gros, tu dois calculer les sommes partielles jusqu'à 2k et celles jusque 2k+1.

Et après on pourra parler d'une limite éventuelle.
Enfin, ce n'est qu'une méthode.

[mathos92]

Donc si j'ai bien compris:
;)Un=;)(ln(1+((-1)^n)/n)

Somme partielle de n=2 à n=2k
;)Un= ln(1+1/2)+ln(1-1/3)+ln(1+1/4)+ln(1-1/5)+....+ ln(1+1/2k)=S1
Somme partielle de n=2 à n=2k+1
;)Un= ln(1+1/2)+ln(1-1/3)+ln(1+1/4)+ln(1-1/5)+....+ ln(1+1/2k)+ln(1-1/(2k+1))= S1+ln(1-1/(2k+1)
j'étudie la limite du dernier terme quand k->+oo je trouve =0 d'ou ;)Un converge

[BiancoAngelo]

Donc si j'ai bien compris:
Un=;)(ln(1+((-1)^n)/n)

Somme partielle de n=2 à n=2k
Un= ln(1+1/2)+ln(1-1/3)+ln(1+1/4)+ln(1-1/5)+....+ ln(1+1/2k)=S1
Somme partielle de n=2 à n=2k+1
Un= ln(1+1/2)+ln(1-1/3)+ln(1+1/4)+ln(1-1/5)+....+ ln(1+1/2k)+ln(1-1/(2k+1))= S1+ln(1-1/(2k+1)
j'étudie la limite du dernier terme quand k->+oo je trouve =0 d'ou Un converge

Tu as vu que S1 = 0 ?

Et limite de S2 = 0.

Donc je crois quon peut parler de deux valeurs d adherence, toutes les deux egales à 0.
Ca veut bien dire que la limite existe.

Pour comprendre, etudie une serie de base, celle des (-1)^n.

[mathos92]

est ce qu'on aurait pu aussi utiliser une autre méthode celle de la propriété des séries alternés (c'est ce que j'aurais utilisé pour (-1)^n ) et ainsi démontrer que ;)Un;) est décroissante (en étudiante le signe de Un+1/Un) et tend vers 0 d'ou ;)Un cv

[BiancoAngelo]

est ce qu'on aurait pu aussi utiliser une autre méthode celle de la propriété des séries alternés (c'est ce que j'aurais utilisé pour (-1)^n ) et ainsi démontrer que Un;) est décroissante (en étudiante le signe de Un+1/Un) et tend vers 0 d'ou Un cv

Sauf que c'est quoi le résultat sur la série de terme général (-1)^n ?
Et ici, pour ta série, elle nest pas absolument convergente.
Puis faire Un+1/Un, t'es sur que.c'est bien ?
Vu le DL de ln(1+x), le rapport tend vers 1 en valeur absolue, ce qui est pas concluant du coup !

[mathos92]

on aurait comme résultat -1 donc la suite est décroissante mais elle ne tend pas vers 0..
donc dans le cas de notre suite on était obligé de passer par les sommes partielles
dire que la limite de la somme partielle tend vers 0 suffit pour dire qu'elle est convergente

[zygomatique]

il me semble que

....

EDIT :: ok je corrige .... :lol3:

[Ben314]

il me semble que

....

Oui, mais pas avec une inégalité stricte vu que

[mathos92]

Donc les méthodes peuvent marcher ici ?
Celle avec les sommes partielles et celle du fait qu'on est une suite décroissante qui tend vers 0

[mathos92]

Salut,
1) Sans faire le moindre calcul, je subodore (si, si... :zen:) que la limite de ton truc va dépendre de la valeur a et ne fera pas 0 systématiquement (et même que, des fois, ça pourrait faire 1, cas dans lequel on ne peut pas conclure directement)

2) Erreur (peut-être de frappe ?) dans ton équivalent Vn qui vaut Vn = 1/(n(ln(n))^3/2)

3) ÉNORME erreur, la série Vn=;)1/n est le modèle même de la série divergente (les sommes partielles sont équivalentes à ln(n))
En plus, la rédaction ne va pas. Ca : ln(1+(1/n));)(en +oo) 1/n c'est pas clair du tout : c'est qui la variable qui tend vers l'infini là dedans ? Surement pas le n vu qu'à priori tu somme pour n=? à ?
Par contre, ce qui est clair, c'est que ln(1+(1/n));)(en +oo) 1/n

BILAN (provisoire) : la série Un n'est pas absolument C.V. mais... elle est peut être convergente quand même...

Et du coup pour la 2, oui j'ai du faire une erreur de frappe mais le raisonnement est le bon ? 3/2 >1 donc d'après Bertrand elle converge bien
Juste la 2 est bien correcte du coup ?