Convergence en proba

[SuperPoule]

Bonjour à tous,

Je bloque sur la dernière question de cet exercice :
Soient un nombre tel que et des variables aléatoires indépendantes de même espérance et même variance . On pose alors et pour tout entier :

1. Calculer l'espérance de pour
2. Calculer , pour tous
3. Etudier la convergence en proba de

Pour 1. j'ai trouvé .
Pour 2. j'ai trouvé, pour ,

Mais pour la 3. je bloque.
Quelqu'un aurait-il une idée ?

[phyelec]

Bonjour,



l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev dit :


si tend vers 0 quand n tend vers alors T tend vers E(T) (= convergence en probabilité )

[SuperPoule]

Bonjour phyelec et merci pour ta réponse.

J'ai bien pensé à utiliser l'I.B.T., mais il me semble qu'ici ça ne marche pas.
En effet, je ne crois pas que l'on puisse dire que converge en proba vers puisque cette dernière valeur n'est pas une variable aléatoire fixée (c'est un nombre qui varie avec ). De la même manière, on ne dit pas qu'une suite de réels converge vers une suite de réels .

[phyelec]

Vous pouvez peut-être conduire le calcul de la manière suivante :

vous avez et

avec

[SuperPoule]

Je vais chercher encore, mais rien jusqu'ici. Je vous tiendrai au courant si je trouve quelque chose.

[Skullkid]

Bonjour, on peut montrer que l'espérance de tend vers et que la variance de tend vers 0 (en faisant attention au fait que, les n'étant pas indépendantes, la variance de ne fait pas seulement intervenir la somme des variances des ).

On devrait donc s'en sortir en érivant , puis en utilisant Bienaymé-Tchebychev sur le premier terme.

[SuperPoule]

Bonjour Skullid.
Effectivement, j'avais pensé à cette limite, mais sans aboutir. En faisant comme vous dites, on y arrive moyennant quelques calculs désagréables.
Merci beaucoup pour votre aide.