Convergence en loi d'une variable aléatoire

[BoredKangaroo]

Bonjour,
C'est mon premier post sur ce forum. J'aurais besoin d'un peu d'aide sur un petit exercice de probas.

En se plaçant dans le cadre de variables aléatoires à valeurs dans et en adoptant comme définition de la convergence en loi : converge en loi vers si et seulement si , je souhaiterais démontrer l'équivalence entre la convergence en loi de vers et la convergence simple des fonctions génératrices des vers sur .
J'ai démontré le sens direct mais je bloque sur le sens réciproque alors que j'ai l'impression que ce n'est pas très compliqué...
J'ai notamment essayé d'utiliser la formule :
pour passer des fonctions génératrices aux probabilités mais sans succès.

[BoredKangaroo]

J'ai fini par m'en sortir.
Si quelqu'un à la recherche de la solution tombe un jour sur ce topic, il faut effectivement utiliser la formule que j'ai citée avec puis simplement appliquer le TCD. Je sais pas pourquoi j'y ai pensé plus tôt