Convergence en loi

[virginie66]

Soient (Xk) avec K appartenant à N une suite de v.a.r
ak et bk deux suites de réels où les ak sont strictement positifs.
On suppose que les (Xk) converge en loi vers une v.a.r X et que la suite ( ak * Xk + bk) converge en loi vers une v.a.r Y

démontrer l'e'xistence de réels a>0 et b tels que Y et aX+b soient de même loi , an ->a et bn ->b


Pour y répondre, je dois utiliser les fonctions caractéristiques ?

[Doraki]

Faudrait vérifer ton énoncé. Est-ce qu'on suppose les suites (ak) et (bk) convergentes ?

Si je prends tous les Xk = dirac en 1.
Et pour ak,bk, j'alterne entre a(2k)=2,b(2k)=0 ; et a(2k+1)=1,b(2k+1)=1.
Pour tout k, akXk+bk = dirac en 2 :

Xk = X = dirac en 1, akXk+bk = Y = dirac en 2.
Mais les suites (ak) et (bk) ne sont pas convergentes.

[Finrod]

On suppose qu'il y a un densité ici, au sens des cours de proba standard, on ne veux donc pas de dirac.

D'ailleurs une densité de Dirac correspond à une Bernoullie. Or dans ton ex la bernoullie en question n'est pas la même suivant que k soit pair ou impair. L'une vaut soit 0 soit 2, l'autre soit 1 soit 2. (en supposant par ex que Xk vaut 0 ou 1).

Je pencherai pour regarder les fonctions de répartitions, moi aussi.

Comme Fk (t/ak - bk) converge vers Fy (t) (je suppose qu'il est précisé que les ak sont strict positifs.)

Les fonction Fk sont inversibles, il doit y avoir moyen de faire qqchse en isolant t/ak - bk d'un côté...

[Doraki]

J'pensais qu'un dirac c'était une variabe aléatoire pas aléatoire : Xk vaut tout le temps 1, et akXk+bk vaut tout le temps 2.

Soit x dans R.
Pour tout y < Limsup ak*x+bk, alors y < ak*x+bk pour une infinité de k,
donc P(akXk+bk >= y) >= P(X>=x) pour une infinité de k, donc P(Y >= y) >= P(X >= x).
De même, pour tout y > Liminf ak*x+bk, P(akXk+bk >= y) <= P(X>=x) pour une infinité de k, donc P(Y >= y) <= P(X >= x).

Donc si Limsup ak*x+bk > y > Liminf ak*x+bk, alors P(Y >= y) = P(X >= x).

Si j'me trompe pas en disant que les fonctions x -> Liminf(ak*x+bk) et x -> Limsup(ak*x+bk) sont continues, ça implique que
dès que la fonction x -> P(X>=x) a un endroit ou elle n'est pas localement constante, il faut que Liminf ak*x+kb = Limsup ak*x+bk, c'est-à-dire que la suite (ak*x+bk) doit converger.

Si on a au moins 2 tels points (donc dans quoiquecesoit d'autre que mon contre-exemple),
ça implique que les suites (ak) et (bk) convergent.

Ensuite, y'a peut-être des trucs bizarres qui peuvent se passer aux discontinuités, mais vu que les fonctions x -> P(X>=x) sont continues à gauche, ça devrait bien se passer pour montrer que aX+b et Y ont la même loi.

[Finrod]

Mes souvenirs de théorie des distribution donnait pour intégrale d'une distribution de Dirac en a sur un intervalle I, l'indicatrice .

Donc on parlait sans doute pas de la même chose, ok. Je ne peux pas rester, je n'écris rien de plus.