Convergence dominée?

[switch_df]

Bonjour à tous,

Voici un problème auquel je suis confronté et qui me pose problème justement. Soit et . Si est sommable et continue en 0, montrer que

Donc en gros on me demande de montrer que la gaussienne tend vers un Dirac. Intuitivement ca se voit simplement. Je fais ma demo et je tombe la dessus:

. A ce stade si je peux rentrer la lim dans l'intégrale le problème est réglé car j'ai la continuité.

Je pensait utiliser le thm de la convergence dominée, mais je n'arrive pas à l'appliquer ici, donc je suis bloqué.

Si qqun à une idée, c'est avec grand plaisir.
Merci bien.

[Ben314]

La méthode parrait bonne, mais la borne sup. de (pour t fixé) lorsque décrit un intervalle peut être extrèmement grande (penser à une fonction g prenant des valeur extrèmement grande sur de tout petits intervalles) donc j'ai l'impression (je suis loin d'en être sur) que l'on ne peut pas appliquer le th. de C.V. dominée.
On ne peut pas non plus l'appliquer avant de faire le ch. de var .

Je me demande s'il ne faut pas couper en 2 ( et le reste), faire ton changement de variable sur UN des deux seulement puis appliquer le th. de C.V. dominée à chaque morceau.

P.S. Ca fait longtemps que je n'ai pas fait ce type d'exercices et cela ne m'étonerais pas vraiment qu'il y ait une méthode beaucoup plus simple...

[Doraki]

Oui je confirme avec une bonne paire de ciseaux on peut toujours s'en sortir.

[switch_df]

Merci pour vos réponses.

J'y avait pensé hier déjà, mais je n'arrivait pas à le réaliser pour la raison suivante:

Sur la partie il faut que je fasse le changement de variable pour pouvoir exploiter la continuité à un moment ou un autre. Le problème c'est qu'en faisant cela les bornes explosent quand devient petit et je ne peux plus exploiter le fait que reste borné proche de 0.

2ème problème: je ne connait rien de g loin de 0, donc je sais pas trop quoi dire sur les 2 intégrales qu'il reste.

Je dois surement passer à côté de quelque chose.

[Ben314]

Il me semble que effectivement, "les bornes explosent" mais, le reste dans (puisque c'était le x d'avant !!!!) et que, au départ, tu prend (évidement) le assez petit pour que g soit borné sur cet intervalle.
Tu n'as pas besoin de plus, vu que sur cet intervalle, la domination_qui_fait_que_ca_marche est l'exponetielle de -t^2/2...

[Doraki]

Tu sais que la gaussienne se concentre de plus en plus en 0 :
quand µ tend vers 0, l'intégrale de Gµ(x) sur [-e,e] tend vers 1 (et là g est aussi proche de g(0) que tu veux par continuité) ;
sur le reste, Gµ(x) tend uniformément vers 0 quand µ tend vers 0 tandis que g y est sommable.
Des encadrements basiques suffisent, pas besoin d'utiliser des théorèmes compliqués.

[switch_df]

Merci pour toutes les indications, j ai pu faire une preuve correcte.

A bientôt.