Converge de série

par **zork** » 31 Déc 2011, 18:50

bonsoir,

soit (an) [n de 1 à oo] une suite de nombres réels. Soient 0=no=0 on pose

démontrer à partir de la définition de la convergence d'une série que si

converge alors la série

converge

comme la série an converge
an tend vers 0
|an|<epsilon
je prend epsilon=1 mais après je n'arrive pas

PS: quel est d'après vous le niveau de cet exo, facile, moyen, difficile? parce qu'en fac en TD je n'ai jamais fais de chose comme cela

je vous remercie pour votre aide

par **girdav** » 31 Déc 2011, 18:59

Bonjour,
on peut vérifier que la suite des sommes partielles est de Cauchy.

par **Matt_01** » 31 Déc 2011, 19:06

Perso, j'essaierai d'écrire les sommes partielles :
la somme des n premiers b_k :

.
.
.

Ne reconnais tu pas quasiment une somme partielle des a_k ?
(L'avantage ici c'est qu'on connait alors la somme des b_k)

par **zork** » 01 Jan 2012, 12:52

je n'ai pas compris ce que tu as voulus dire MATT

sinon pour revenir à la méthode de Girdav

par **girdav** » 01 Jan 2012, 13:44

Attention, là tu ne te sers que du fait que

, mais on a plus fort que ça (en fait là c'est comme si tu devais enfoncer un clou avec un marteau, mais tu ne gardes que le manche et tu n'y arrives pas).
On pose

.
Prend un

, et un

tel que si

alors

. Prend

un entier tel que pour

,

. Vois-tu comment majorer

pour

?

par **zork** » 01 Jan 2012, 15:16

mais là on connait la valeur de la somme qui est

par **girdav** » 01 Jan 2012, 16:44

Oui, et maintenant réécris cette somme en terme de

.

par **zork** » 01 Jan 2012, 16:46

Pourquoi on prend un n1? ce n'est pas le critère de cauchy?

girdav a écrit:Prend un , et un tel que si alors . Prend un entier tel que pour , . Vois-tu comment majorer pour ?

par **girdav** » 01 Jan 2012, 16:50

Ah, mauvais choix de notation, j'aurais du prendre des

.

par **zork** » 01 Jan 2012, 18:42

pour moi le critère que tu as écris pour bk n'est pas cauchy. Peu importe N ou non
dans mon cours j'ai:
une série converge ssi pour tout

>0, il existe N tel que k,m>N avec k>m,

par **zork** » 01 Jan 2012, 19:26

c'est bon j'ai réussit

par contre je n'arrive pas à montrer que

j'ai essayé de faire un changement d'indice dans bk pour partir de 1 mais j'y arrive pas
Finalement j'ai essayé de faire la différence mais ca ne marche pas non plus

par **girdav** » 01 Jan 2012, 20:26

puis on fait tendre

vers l'infini, maintenant que l'on sait que ces deux limites existent.

par **zork** » 01 Jan 2012, 23:12

quel argument utilises-tu pour te ramener à une seule somme?

par **girdav** » 01 Jan 2012, 23:49

Les ensembles

pour

forment une partition de

.

par **zork** » 02 Jan 2012, 16:12

on ne peut pas faire autrement puisqu'en fac je n'ai jamais vu les partitions

Converge de série

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