Contuinité d'une fonction (integrale)

[roni]

Salut, j'ai besoin de votre aide, so quelqu'un peut m'aider svp:
Etudier la contuinité et la derivabilité (sur le domaine de def) de :



Merci d'avance

[zygomatique]

salut

donc

1/ quel est le domaine de définition de f ?

2/ cette intégrale est-elle bien définie ?

3/ f est-elle continue ?

4/ f est-elle dérivable ?


PS : 1/ et 2/ sont dans une certaine mesure liées ...

[roni]

On peut remarquer que :


De meme on verifie que g(x,t) est integrab. en

D'ou le domaine de def de f est

Mais, pour etudier la contuinité et la derivabilité, que faut-il faire ? (Puisque les bornes d'integration dependent de x).
Quelles sont les conditions qu'il faut verifier pour obtenir la contuinité d'une telle fonction?

[aviateur]

Bonjour
Dans cet exercice je pense qu'il faut travailler sur chacun des intervalles de D_f.
Ensuite on peut toujours se ramener à des bornes fixes en remplaçant sous le signe "somme"
g(x,t) par
Ensuite travailler avec l'aide du théorème de continuité des intégrales paramétrées.

[roni]

je vais poser
On peut faire comme aviateur a dit (de remplacer la fonction à integrer par une autre multipliée par l'indicatrice, dans ce cas il faut decomposer l'intervalle puis voir que vaut faire une discussion...)

on connait qu'une fonction est continue sur un intervalle I si et seulement elle est continue sur tout compact de I.

[Ben314]

Salut,

Ensuite on peut toujours se ramener à des bornes fixes en remplaçant sous le signe "somme" g(x,t) par
Ensuite travailler avec l'aide du théorème de continuité des intégrales paramétrées.

J'ai de gros doute concernant l'intérêt d'un tel point de vue lorsque l'objectif est de montrer la continuité :
J'imagine difficilement un théorème donnant la continuité de sans avoir dans les hypothèses la continuité (en ) de et là en multipliant par une indicatrice, la continuité. . .

Perso, face à un truc qui se présente sous la forme , pour me ramener à des bornes fixes pour éventuellement appliquer les théorèmes classiques, je ferais plutôt le changement de variable le plus évident qui soit, à savoir où varie de 0 à 1 (pour fixé bien sûr).
(et à mon sens, c'est l'existence de ce changement de variable trivial qui fait qu'on s'emmerde pas trop à écrire des théorèmes généraux de continuité, dérivabilité, interversion de limites, etc... avec des bornes variables)

[aviateur]

Ok, je retire ce que j'ai dit....

[roni]

Ben314, votre changement est tres logique, c'est la methode generale pour ce type de question,

merci pour l'aide !!!