Un contre exemple

[jlb]

Bonjour, je sais que si deux distances sont équivalentes alors les topologies associées sont les mêmes.
Je cherche deux distances non équivalentes donnant la même topologie, sans trop d'idées d'ailleurs! Auriez vous une piste? Merci.

[Doraki]

Bonjour, je sais que si deux distances sont équivalentes alors les topologies associées sont les mêmes.
Je cherche deux distances non équivalentes donnant la même topologie, sans trop d'idées d'ailleurs! Auriez vous une piste? Merci.

(R,|.|) et (R,d) avec d(x,y) = arctan |x-y| (tu peux remplacer arctan par n'importe quelle autre fonction concave croissante qui vaut 0 en 0 avec f(x)/x qui tend vers 0)

[jlb]

Merci, je réponds en ayant pris le temps de vérifier!! Il n'existe pas A réel non nul tel que A|x-y|=
Et je repars réfléchir après avoir lu ta précision: f concave avec f(x)/x tend vers 0 en 00, tu définis d(x,y)=f(|x-y|)? cela donne une distance et la même topologie systématiquement?
En tout cas, merci.

[jlb]

Bonsoir, en fait, après réflexion,je n'avais même pas vérifié que cela définit bien une distance ( d(x,y)= arctan(|x-y|)) Et du coup, je sèche pour démontrer que d vérifie l'inégalité triangulaire . Auriez-vous une méthode simple? Merci.

[Ben314]

La méthode simple, c'est de le faire en deux temps :
1) Montrer que la fonction Arctan est concave sur R+ (trivial en calculant la dérivée seconde)
2) Montrer que, si d une fonction de 2 variables de ExE dans R+ qui vérifie l'inégalité triangulaire et f une fonction de R+ dans R+ concave, alors fod vérifie aussi l'inégalité triangulaire (pas trés dur une fois que tu as compris que c'est la concavité qui fait marcher le truc)

[jlb]

Dans un premier temps,j'ai trouvé en fixant y positif et en étudiant h(x)=arct(x+y) - arct(x)-arctan(y) cela me semble assez simple comme ça en fait!!! Mais bon, s'il y a une autre façon plus générale cela vaut la peine de chercher, du coup j'ai trouvé le résultat si f est concave, positive et croissante avec, f(x)=0 équivaut à x=0. Par contre je bloque si f est seulement fonction de R+ dans R+, concave avec, f(x)=0 équivaut à x=0.
Pour traduire la concavité, on doit utiliser la décroissance du taux d'accroissement?
Merci en tout cas.

J'abuse mais pour avoir l'équivalence des topologies entre celle donnée par d et celle donnée par fod, faut-il des propriétés supplémentaires pour f? Merci pour tout.

[Doraki]

Oui j'crois qu'on pensait aux fonctions qui sont croissantes (si elle n'est pas croissante elle prend des valeurs négatives au bout d'un moment parcequ'elle est concave, donc ça va vraiment pas)