Contraintes linéaires et existence d'une solution positive

[lirabo]

Bonjour,

J'ai un espace vectoriel à n dimension et un ensemble d'équations linéaires que je peux représenter par une matrice A et un vecteur V de telle sorte que :
P vérifie les contraintes ssi A.P=V

Je me demande comment parvenir à savoir s'il existe des solutions ayant toutes leurs coordonnées positives. c'est à dire si l'hyperplan d'équation A.P=V a une interesction avec le quadrant (xi>=0 pour tout indice i)

Merci pour tous vos tuyaux,

Arnaud

[lirabo]

Bonjuor,
Ce sujet n'avait pas reçu de réponse. Comme, il m'est toujours utile, je me permet de le remettre sur le haut de la pile pour une seconde et dernière tentative.

Merci pour votre aide

[buzard]

Bonjour,

Si personne ne t'as répondus, c'est que t'a du mal poser la question. Tu confond à mon avis plusieurs principes, ce qui fait que ta question n'as pas de sens. Alors plutôt que de dire n'importe quoi beaucoup préfèrent se taire. Dans tous les cas le cadre est mal posé.

J'ai un espace vectoriel à n dimension et un ensemble d'équations linéaires que je peux représenter par une matrice A et un vecteur V de telle sorte que :
P vérifie les contraintes ssi A.P=V

suivant le rang de A et la position de V tu aura : un espace affine solution (réduit un point quand tu n'as qu'une solution) ou pas de solution.

Le cas le plus fréquent c'est quand A est inversible, il n'y a qu'une seule solution possible. Il suffit de vérifier que tout ces composants sont positif (et ça c'est immédiat)

autre remarque : AP=V ne définie pas un hyperplan, à moins que A ne soit un vecteur (ce qui ne correspond pas à ta définition) et que le produit A.P soit le produit scalaire; et dans ce cas on parle d'hyperplan affine.

[lirabo]

En effet, il manque p-e des précisions.

La dimension de A est n lignes et r colonnes avec r<=n.
Le rang de A est r (les colonnes de A sont indépendantes entre elles)


L'espace des solutions A.X=V est bien un espace affine et non un hyperplan (mes cours de maths commencent à dater).

Bien sur, le cas n=r et A inversible est trivial.

Donc, en gros mon problème se résume à savoir si l'espace affine d'équation A.X=V a une intersection avec le quadrant des vecteurs ayant toutes leurs coordonnées positives. Je serai même ravi si dans l'affirmative, je pouvais récupérer un point quelconque (c a dire un point qui vérifie les contraintes et qui soit de coordoonées toutes positives)

Pour info, mon véritable but est de vérifier si un ensemble de contraintes portant sur une distribution de probabilité (sur des variables aléatoires discretes X, Y, Z ...) est cohérent lorsque ces contraintes s'expriment sous forme de proba conditionnelles P(X=xi, Y=yj / Z=zk,...)=...

Je représente chaque distribution par un vecteur dans un espace à n dimension (n produit des cardinalités des X, Y Z).
Je construit ma matrice A avec les contrainte en ajoutant la contrainte correspondant à l'équation qui dit que la somme des probas élémentaires doit valoir 1.

D'où la nécéssité d'avoir des coordonnées toutes positives.

[Ben314]

Salut,
A froid, il me semble bien que, si A est de rang r, alors ton sous espace vectoriel F est de dimension n-r et, s'il contient un vecteur Xo dont les n coordonnées sont positives (ou nulles) alors F contient aussi un vecteur X'o à coordonnées positives et dont n-r d'entre elles sont nulles.

Si c'est exact, il suffit (mais c'est un peu long si n est grand et r petit...) de résoudre tout les systèmes (carrés) obtenus en partant de ton système et en considèrant que n-r des inconnues sont nulles.