Continuité : Vrai / Faux (L1)

[yoyo07]

Bonsoir à tous,

Je suis entrain de voir le chapitre sur la continuité, et sur notre TD un exercice Vrai / Faux est à faire (j'ai réussi à trouver certaines choses, d'autres non).
Voici le sujet : Soit une fonction définie sur telle que

On peut en déduire que :
— est monotone au voisinage de 0
— La fonction est définie sur un intervalle ouvert contenant 0
— La fonction est bornée au voisinage de 0
— La fonction est bornée au voisinage de 0
— est majorée par 2 au voisinage de 0 (vrai)
— est bornée au voisinage de 0 (vrai)
— est minorée par 1 au voisinage de 0 (vrai)
— est minorée par 0 au voisinage de 0 (vrai)

J'aimerais donc savoir le reste des réponses ainsi que de savoir si celles que j'ai mises sont vraies.
Je vous remercie par avance pour votre aide,
Yoyo

[chan79]

salut
pour la 1, vois la fonction f telle que
f(0)=1
f(x)=1+x*sin(1/x) pour x non nul

Sinon, tu devrais mettre tes justifications pour les questions où tu as répondu "vrai".

[pascal16]

— La fonction est définie sur un intervalle ouvert contenant 0
est-ce que la limite induit un encadrement ?
cet encadrement induit-il une existence des valeurs ?

— La fonction est bornée au voisinage de 0
en 0-, c'est réglé (donc n pourrait conclure ici)
en 0+, vers quoi tend ln(x)
que sait de de f au voisinage de cette valeur ?

— La fonction est bornée au voisinage de 0
idem

— est majorée par 2 au voisinage de 0 (vrai)
un majorant n'est pas le maximum, mais sais-tu le prouver en 2 lignes ?

— est bornée au voisinage de 0 (vrai)
idem

— est minorée par 1 au voisinage de 0 (vrai)
cf exemple de Ben, il y a des fonctions hérétiques coté variations et continues

— est minorée par 0 au voisinage de 0 (vrai)
demander minorée, majorée et bornée, ça fait un peu redite

[yoyo07]

Bonjour, merci à vous deux pour vos réponses.
Je développe vos idées ou du moins j'essaye :

— est monotone au voisinage de 0 : Faux (en prenant la fonction f(x)=1+x*sin(1/x), on voit très clairement que la fonction oscille)

— La fonction est définie sur un intervalle ouvert contenant 0 [/b]
est-ce que la limite induit un encadrement ?
cet encadrement induit-il une existence des valeurs ?
Je n'ai pas compris votre démarche

— La fonction est bornée au voisinage de 0
en 0-, c'est réglé (donc n pourrait conclure ici)
en 0+, vers quoi tend ln(x)
que sait de de f au voisinage de cette valeur ?
La fonction f tend vers 1 non ? Si c'est le cas, alors elle est forcément bornée


— La fonction est bornée au voisinage de 0
idem --> en 0- et 0+ la fonction tend respectivement vers et --> C'est donc FAUX.

— est majorée par 2 au voisinage de 0 (vrai)
un majorant n'est pas le maximum, mais sais-tu le prouver en 2 lignes ?
On peut prendre une fonction simple (aucun exemple en tête) qui a un maximum noté max.
Ensuite un maximum est forcément différent de donc il existe au moins un majorant (noté M) apparentant à tel que

— est bornée au voisinage de 0 (vrai)
idem

— est minorée par 1 au voisinage de 0 (vrai)
cf exemple de Ben, il y a des fonctions hérétiques coté variations et continues
Je ne sais pas ce qu'est une fonction hérétique

— est minorée par 0 au voisinage de 0 (vrai)
demander minorée, majorée et bornée, ça fait un peu redite[/quote]
J'ai déjà eu ce genre de question dans mes précèdent TD (suites), et pourtant elles n'étaient pas toujours bornée tout en ayant ces 3 propositions

[Carpate]

cf exemple de Ben, il y a des fonctions hérétiques coté variations et continues
Je ne sais pas ce qu'est une fonction hérétique

Moi non plus !
Est-ce qu'elles finissent sur le bûcher ?

[pascal16]

f(ln(x)) n'est pas définie en 0- car ln(x) n'y est pas défini.
en 0+ (ln(x) tend vers -oo), on ne sait rien dire sur f(ln(x)) car on ne connait rien sur f en -oo

ln(f(x)) est bien définie car il existe un voisinage de 0 où f est est proche de 1, donc positive.
démo rapide f continue, on prend epsilon = 0.5, il existe éta strictement positif tel tel que sur [0-eta; 0+eta] on ait 1-0.5<f<1+05. d'où au passage la majoration par 2, la minoration par 0 et donc bornée
Et par composition de fonction continues au point considéré (f en 0 et ln en 1), on a ln(f(0))=0 et elle est continue au voisinage de 0, donc bornée.

f(1/x) : la réponse attendue est la tienne (celle de la définition stricte), mais on peut trouver une fonction prolongeable, exemple : f(x) = exp (x²)
est continue et vaut 1 en 0, et f(1/x) est prolongeable (classe Coo je pense) en 0 par la valeur 0

[Pseuda]

Bonsoir,

"f minorée par 1 au voisinage de 0", je dirais que c'est faux. Exemple, la fonction f : x--> x + 1 qui a pour limite 1 en 0. Il n'existe pas d'intervalle ouvert centré en 0 sur lequel f serait minorée par 1.

[yoyo07]

Bonsoir,

"f minorée par 1 au voisinage de 0", je dirais que c'est faux. Exemple, la fonction f : x--> x + 1 qui a pour limite 1 en 0. Il n'existe pas d'intervalle ouvert centré en 0 sur lequel f serait minorée par 1.

Bonjour,
Merci pour votre réponse, après avoir retravaillé cette question j'ai trouvé que seulement la proposition 1 et 7 étaient vraies. Qu'en pensez-vous ?

Merci par avance

[Pseuda]

Bonjour yoyo,

Je vois 8 questions. Je dirais que seules les questions 2-5-8 sont vraies (ce que tu appelles 1 et 7, + la 4). Pour la 1, on peut prendre aussi |x|+1 en contre-exemple.

Par exemple, pour f(ln(x)) (question 3), on peut prendre la fonction identité en contre-exemple : Id(ln(x))=ln(x) --> -infini en 0.
En 0, ln--> - infini, et on ne sait rien du comportement de la fonction f en -infini.

[yoyo07]

Bonjour yoyo,

Je vois 8 questions. Je dirais que seules les questions 2-5-8 sont vraies (ce que tu appelles 1 et 7, + la 4). Pour la 1, on peut prendre aussi |x|+1 en contre-exemple.

Par exemple, pour f(ln(x)) (question 3), on peut prendre la fonction identité en contre-exemple : Id(ln(x))=ln(x) --> -infini en 0.
En 0, ln--> - infini, et on ne sait rien du comportement de la fonction f en -infini.

Bonjour,
Merci pour votre réponse. Effectivement votre contre-exemple fonctionne parfaitement. Cependant, avec les réponses 2-5-8, la fonction est à la fois minorée et majorée. Ne faudrait-iljj pas y ajouter la réponse 6, qui mentionne que la fonction est bornée ?

Merci pour votre aide

[Pseuda]

Bonsoir,

Message perdu, pas le courage de tout réécrire. Oui du coup la 6) est vraie aussi. La fonction est bornée au voisinage de 0 et prend ses valeurs dans tout intervalle [1-e,1+e], donc dans [0,2].