Continuité d'une fonction

[pierremaul]

Pierre (posté le 28/11/2006 à 20:51) ID: (32629,0)

Bonsoir à tous !
Je bloque depuis plusieurs jours sur la continuité d'une fonction.
En effet, on a vu en cours que:

Soit f une fonction,

f est uniformement continue sur D ( un ensemble ) ==> ( implique) f continue sur D.

On doit montrer que la réciproque fausse en donnant un contre exemple avec : f(x)= ..... et D=.....

Je n'arrive toujours pas à trouver.
Pourriez-vous l'aider svp?

Merci beaucoup et bonne soirée :)

[nuage]

Salut,
tu peux essayer avec sur [0;1]

[kazeriahm]

nuage le theoreme de Heine ?! :we:

l'exemple de nuage ne marche pas car toute fonction continue sur un segment est uniformement continue sur ce segment.

Parcontre tu peux essayer racine de x sur R (et non pas sur [0,1])

[abcd22]

Bonsoir,
racine de x est uniformément continue sur R, par contre l'exponentielle par exemple n'est pas uniformément continue sur R. Ou encore sin(1/x) sur ]0,1].

[pierremaul]

Merci pour vos réponses.

Pourriez vous m'expliquer pourquoi sin(1/x) est continu sur ]0,1] mais pas uniformément continue sur ]0,1] ?

[yos]

Ou x ---> x² sur R

[nuage]

nuage le theoreme de Heine ?! :we:

l'exemple de nuage ne marche pas car toute fonction continue sur un segment est uniformement continue sur ce segment.

Parcontre tu peux essayer racine de x sur R (et non pas sur [0,1])

Mes excuses :briques:

[abcd22]

Merci pour vos réponses.

Pourriez vous m'expliquer pourquoi sin(1/x) est continu sur ]0,1] mais pas uniformément continue sur ]0,1] ?

Pour tout entier n, si on pose et , on a et . Pour tout , pour n assez grand et , ça contredit la définition de la continuité uniforme pour .
Intuitivement, la raison pour laquelle cette fonction n'est pas uniformément continue sur ]0 ; 1] c'est qu'elle oscille de plus en plus vite au voisinage de 0.