Continuité d'une fonction de deux variables

[Vin[ent]

Bonjour,

Alors j'ai une fonction définie comme suit :

f(x,y) = { xy*(x^2-y^2)/(x^2+y^2) si (x,y)!=(0,0)
{ a si (x,y) = (0,0)

On me demande si f est continue sur R^2.
Le problème va donc se poser lorsque (x,y)->(0,0). Mais je ne sais pas trop comment procéder : faut-il utiliser la majoration ?

[Antho07]

Bonjour,

passe en coordonnées polaires

[Maxmau]

Bonjour,

Alors j'ai une fonction définie comme suit :

f(x,y) = { xy*(x^2-y^2)/(x^2+y^2) si (x,y)!=(0,0)
{ a si (x,y) = (0,0)

On me demande si f est continue sur R^2.
Le problème va donc se poser lorsque (x,y)->(0,0). Mais je ne sais pas trop comment procéder : faut-il utiliser la majoration ?

Bj
OUI majore en passant en polaires

[Antho07]

Je n'avais pas fait attention mais il faudrait peut être trouver a avant non?

Le a est quelconque?

[Maxmau]

Ou alors trouver la limite et discuter

[Vin[ent]

Oui aucune contrainte sur le a, justement ce qui m'intrigue aussi ...

Sinon pour le passage en polaire j'ai maintenant une expression en fonction des rcos(téta),rsin(téta), mais après pour la majoration je ne sais pas trop comment m'y prendre.
En effet je n'ai jamais étuder cette technique en TD/Cours ...

[Antho07]

En faite, une limite est unique.
Donc il faut montrer que f(x,y) tend vers quelque chose mais independemment de la direction avec laquelle on arrive en (0,0).
ici on se doute en ayant fait d'abord tendre x vers 0 puis y.
en ayant fait d'abord tendre y puis x .
en ayant regarder ce qu'il se passe pour y=x par exemple

Que la limite va être 0.

Donc on passe en cordonnée polaire et le but est de montrer que lorsque r tend vers 0 (lorsqu'on se rapproche de (0,0) donc) la fonction tend vers 0 independemment de l'angle theta avec lequel on arrive (independemment de la direction avec laquelle on arrive).

utilise le fait que les cosinus , sinus sont bornée par -1 et 1.

trouve une majoration de | f(rcosO,rsinO)| independante de theta et qui tend vers 0 lorsque r tend vers 0 et tu auras gagné.

O=theta au dessus

Le fait que cela ne dépende pas de la direction est essentielle.

il existe des fonctions qui admettent par exemple une limite =1 lorsqu'on arrive sur (0,0) en etant sur une droite et qui ont pour limite 0 lorsqu'on arrive sur (0,0) en etant sur une parabole.

En dimension 2 on perd enormement le coté "intuitif" qu'on pouvait avoir en dimension 1

[Vin[ent]

Ok merci de ces précisions j'ai pu me débrouillé ^^ : Pratique cette méthode :D

[Vin[ent]

Juste une autre question sur u nautre exercice ou je pense l'emploe des coord polaires ne servent pas grand chose :

f(x,y) = { sin(x)sin(y)/(sqrt(abs(x)) + sqrt(abs(y))) si (x,y);)(0,0)
{alpha si (x,y)=(0,0)

Içi faut-il se débrouiller pour majorer l f(x,y)-alpha | ?

[Maxmau]

|sinx| <= |x| . Ca peut peut-être servir

[Vin[ent]

Exactement ... mais après lorsque j'essaie de majorer je n'obtiens rien d'exploitable : Le principe est quand même de majorer | f(x,y) - f(0,0)(=alpha)| par un Upsilon ?

[Maxmau]

Si f est continue en (0,0) quelle est nécessairement la valeur de f(0,0) ?
(fais tendre (x,y) vers (0,0) avec la condition y =x par exemple )

Ensuite montre alors que f est bien continue en (0,0)
en majorant |f(x,y) –f(0,0)|
Par la même technique que précédemment (polaires)